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2015-10781-0101
2015 香川大学 前期
法,教育,工,医(医学科),農学部
易□ 並□ 難□
【1】 図のような一辺の長さが 1 の立方体 OABC ‐DEFG において, OA→ =a→ , OC→ =c→ , OD→ =a→ とする. M を辺 OC の中点, R , S をそれぞれ辺 AE , 辺 GF 上の点とする. AR=r , GS=s , ∠RMS =θ とおくとき,次の問に答えよ.
1. MR→ , MS→ を,それぞれ r , s ,a → ,c → ,d → を用いて表せ.
2. cos⁡θ を r , s を用いて表せ.
3. ▵MRS が ∠ RMS=90⁢ ° の直角二等辺三角形のとき, r と s の値を求めよ.
4. ∠MRS はつねに鋭角であることを示せ.
2015-10781-0102
図1
図2
【2】 図1のように, AB=AC =5 ,BC =6 の二等辺三角形 ABC 内に,半径が等しい 2 つの円 O1 , O 2 が次の 2 つの条件を満たすように置かれているとする.
・円 O 1 と円 O 2 は外接する.
・円 O 1 は辺 AB と辺 BC に接し,円 O 2 は辺 AC と辺 BC に接する.
このとき,次の問に答えよ.
1. 辺 BC の中点を M としたとき,線分 AM の長さを求めよ.
2. 円 O 1 の半径 R を求めよ.
3. さらに円 O 3 が図2のように円 O 1 と円 O 2 に外接し,辺 AB と辺 AC に接しているとき,円 O 3 の半径 r を求めよ.
2015-10781-0103
法,教育,農学部
【3】 数列 { an } は,
a1 =2 ,a n+1 = 2⁢a n+2 an +2 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定められているとする.このとき,次の問に答えよ.
1. n が自然数のとき,数学的帰納法を用いて 2< an を示せ.
2. n が自然数のとき, an+ 1< an を示せ.
3. n が自然数のとき,数学的帰納法を用いて
an- 2≦ (2- 2) n3 n-1
を示せ.
2015-10781-0104
法,工,医(医学科)学部は必須,教育,農学部は【4】,【5】から1問選択
工,医(医学科)学部は【3】
【4】 2 次関数 y =f⁡( x) のグラフは,点 ( 32 ⁢ a,-a ) を頂点とし,点 ( a,0 ) を通る放物線である.ただし, a≠0 とする.このとき,次の問に答えよ.
1. 2 次関数 y =f⁡ (x ) を a を用いて表せ.
2. a>0 とするとき,放物線 y =f⁡ (x ) と x 軸で囲まれた部分の面積 S ⁡( a) を,積分を計算することによって求めよ.
3. S⁡( 2n) >710 となる最小の自然数 n を求めよ.必要であれば, log10 ⁡2= 0.3010 ,log 10⁡3 =0.4771 ,log 10⁡7 =0.8451 を用いてもよい.
2015-10781-0105
教育,農学部
【4】,【5】から1問選択
【5】 放物線 y =a⁢ x2 ( a >0 ) を y 軸のまわりに 1 回転させてできる容器 A と,容積 V のコップ B がある.このとき,次の問に答えよ.
1. 空の容器 A にコップ B 1 杯分の水を注いだら,水深が 1 となった.このとき, a を V を用いて表せ.ただし,回転軸は水面と垂直であるとする.
2. あとコップ B 何杯分の水を容器 A に注いだら,水深は 2 となるか.
2015-10781-0106
工学部
【4A】と【4B】から1題選択
【4A】 複素数平面上に原点 O⁡ (0 ) と点 A⁡ (1 +3⁢ i) がある.ただし, i を虚数単位とする.このとき,次の問に答えよ.
1. 複素数 1 +3⁢ i を極形式で表せ.ただし,偏角 θ は 0 ≦θ<2 ⁢π とする.
2. 点 A を原点のまわりに - π 3 だけ回転した点を表す複素数を求めよ.
3. 虚軸上の点 B⁡ (z ) が OB =AB を満たすとき,複素数 z を求めよ.
4. 3.で求めた B⁡ (z ) に対して, 3 点 O ,A , B を通る円の中心を表す複素数を求めよ.
2015-10781-0107
工,医(医学科)学部
【4B】 行列 A , E を A =( 0-1 1 0 ), E=( 1 00 1 ) とし, a ,b を a2+ b2≠ 0 を満たす実数とする.このとき,次の問に答えよ.
1. A2 を求めよ.
2. X=a⁢ A+b⁢ B の逆行列 X -1 を求めよ.
3. B2 =-E を満たす任意の 2 次の正方行列 B について, (a ⁢B+b ⁢E) ⁢(- a⁢B+ b⁢E) =s⁢B +t⁢E となる実数 s , t を a , b を用いて表せ.
4. 3.の B に対して Y =a⁢B +b⁢E とおくとき, p⁢B +q⁢E が Y の逆行列 Y -1 と等しくなるような実数 p , q を a , b を用いて表せ.
2015-10781-0108
医(医学科)学部
【4】 b を b >2⁢ 2 を満たす実数とする.このとき,次の問に答えよ.
1. f⁡( x)= x+( ex- b)⁢ ex とするとき,方程式 f ⁡(x )-a =0 が異なる 3 個の実数解をもつような実数 a の範囲を求めよ.
2. 実数 a が1.で求めた範囲にあるとする.このとき,点 ( a,b ) を中心とする円で,曲線 y =ex と異なる 4 点で交わるものが存在することを示せ.