2015　愛媛大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^2+4a+5$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の連立方程式を解け．

$\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x-{\log }_{2}y=1\\ x{\log }_{2}x-y{\log }_{2}y=0\end{array}$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$s\text{，}t$を実数とする．座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,s,t)\text{，}\mathrm{B}(2,3,2)\text{，}\mathrm{C}(0,5,1)$が$\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}$をみたすとき，$s\text{，}t$の値を求めよ．．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　初項が$3\text{，}$公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=n}^{n^2}}{a}_k$を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}\mathrm{B}(4,0)\text{，}\mathrm{C}(4,4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$があり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の端点にないものとする．直線$\mathrm{OP}$によって三角形$\mathrm{ABC}$を$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　$S$を$t$を用いて表せ．

【３】　$a$を自然数とし，関数$f(x)=x^3+2x^2+ax+4$は$x=x_1$で極大，$x=x_2$で極小になるものとする．また，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,f(x_1))\text{，}\mathrm{Q}(x_2,f(x_2))$の中点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$a=1$であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．

(4)　点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．

【４】　$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合${\mathrm{I}}_1\text{，}{\mathrm{I}}_2\text{，}{\mathrm{I}}_3\text{，}{\mathrm{I}}_4\text{，}$および$\mathrm{A}$を

${\mathrm{I}}_1=\{k|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

${\mathrm{I}}_2=\{-k|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

${\mathrm{I}}_3=\{ki|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

${\mathrm{I}}_4=\{-ki|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

$\mathrm{A}={\mathrm{I}}_1\cup {\mathrm{I}}_2\cup {\mathrm{I}}_3\cup {\mathrm{I}}_4\cup \{0\}$

とする．集合$\mathrm{A}$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)　積$X_1{X}_2{X}_3$が$0$となる．

(2)　積$X_1{X}_2{X}_3$が実数となる．

(3)　和$X_1+X_2$が実数となる．

(4)　$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^3{e}^{x^2}dx$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^e}|\log x|dx$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$上の点$(\sqrt{2},1)$における接線の方程式を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(4)　${\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(5)　実数$a\text{，}b\text{，}c$は$0<a<b<c\text{，}{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．

【６】　$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,6,-2)\text{，}\mathrm{D}(t,-2,4)$がある．図ような平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$▵\mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

【７】　$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{cc}{a}_n+1& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ 2a_n& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

$b_1=a\text{，}{b}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}2b_n& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ b_n+1& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

で定める．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}$および$b_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4$を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{S_n\}\text{，}\{T_n\}\text{，}$および$\{U_n\}$をそれぞれ

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{a}_k\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{b}_k\text{，}{U}_n=S_n-U_n$

で定める．

(ⅰ)　$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　$a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．

【８】　$n$を自然数とし，曲線$y=n\sin {\displaystyle \frac{x}{n}}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,q_n\}$とする．

(1)　$x>0$のとき，不等式$n\sin {\displaystyle \frac{x}{n}}<x$が成り立つことを示せ．

(2)　不等式$p_n>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，不等式

(☆)　$(n\sin {\displaystyle \frac{1}{n}})x\leqq n\sin {\displaystyle \frac{z}{n}}$

が成り立つことを利用して，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　不等式$p_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+n^2{\sin }^2{\displaystyle \frac{1}{n}}}}}$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$x$軸，直線$x=p_n\text{，}$および曲線$y=n\sin {\displaystyle \frac{x}{n}}\text{（}0\leqq x\leqq p_n\text{）}$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(4)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，(3)の不等式(☆)が成り立つことを示せ．

【９】　$a$を正の実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$辺の長さが$1\text{，}$他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である三角形のなかで，面積が最大である三角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．

(2)　$2$辺の長さが$1\text{，}$他の$2$辺のうち$1$辺の長さが$a$である四角形のなかで，面積が最大である四角形の残りの$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．

【10】　$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合${\mathrm{I}}_1\text{，}{\mathrm{I}}_2\text{，}{\mathrm{I}}_3\text{，}{\mathrm{I}}_4\text{，}$および$\mathrm{A}$を

${\mathrm{I}}_1=\{k|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

${\mathrm{I}}_2=\{-k|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

${\mathrm{I}}_3=\{ki|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

${\mathrm{I}}_4=\{-ki|k\text{は}n\text{以下の自然数}\}$

$\mathrm{A}={\mathrm{I}}_1\cup {\mathrm{I}}_2\cup {\mathrm{I}}_3\cup {\mathrm{I}}_4\cup \{0\}$

とする．集合$\mathrm{A}$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)　積$X_1{X}_2{X}_3$が$0$となる．

(2)　積$X_1{X}_2{X}_3$が実数となる．

(3)　和$X_1+X_2$が実数となる．

(4)　$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．

(5)　$X_1(X_2+X_3)$が実数となる．

志望別問題選択一覧

教育，農，工（環境建設工学科社会デザインコース）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【６】，【７】，【８】，【９】，【10】