Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2015年度一覧へ
大学別一覧へ
高知大学一覧へ
2015-10821-0101
2015 高知大学 前期
数学II・数学B 教育学部
配点は60点
易□ 並□ 難□
【1】 方程式 x2+ y2+ 2⁢k⁢ x-4⁢ k⁢y+ 10⁢k- 20=0 の表す図形 C を考える.ただし, k は実数とする.次の問いに答えよ.
(1) 図形 C は円であることを示せ.
(2) 図形 C は k がどのような値であっても定点を通る.その定点の座標を求めよ.
(3) 図形 C で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ.
(4) 図形 C と直線 y =x-2 の共有点の個数を求めよ.
2015-10821-0102
理,医学部医学科【3】の類題
配点60点
【2】 次の条件(イ),(ロ)によって定められる数列 { an } がある.
(イ) a1 =2+ 1
(ロ) n=1 , 2 ,3 , ⋯ に対し
an+ 1={ -2⁢ an- 1( a n<10 のとき) (2 -1) ⁢an +6( a n>10 のとき)
次の問いに答えよ.
(1) a2 , a3 , a4 ,a5 を求めよ.
(2) n≧5 のとき, an <10 であることを示せ.
(3) n≧5 のとき, an を n の式で表せ.
2015-10821-0103
【3】 1 辺の長さが 1 の正四面体を OABC とし, A から平面 OBC に下ろした垂線を AH とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積 a→ ⋅b→ , a→ ⋅c → , b →⋅ c→ の値をそれぞれ求めよ.
(2) AH→ を a→ , b→ , c→ で表せ.
(3) AH→ の大きさ | AH→ | を求めよ.
(4) ▵OBC の面積を求めよ.
(5) 正四面体の体積 V を求めよ.
2015-10821-0104
【4】 0≦t <2⁢π とする.関数 f ⁡(x )=2 ⁢x2 +(2 +sin⁡t )⁢x +cos2 ⁡t-2 について,次の問いに答えよ.
(1) t= π2 のとき, y=f⁡ (x ) の最小値を求めよ.
(2) t がどのような値であっても, y=f ⁡(x ) のグラフは x 軸と異なる 2 つの共有点を持つことを示せ.
(3) y=f ⁡(x ) のグラフが, x 軸から切りとる線分の長さの最小値を求めよ.
(4) (3)のとき, y=f⁡ (x ) のグラフと x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2015-10821-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
配点は(1),(2)で100点
【1】 次の問いに答えよ.
(1) |x +1| < 12 , | y-2 |< 1 3 のとき
|- 8⁢x 3+12 ⁢x⁢y +3⁢ y2+ 4|< 10
を示せ.
2015-10821-0106
(2) 次の 3 題(ⅰ)〜(ⅲ)から 1 題選択して解答せよ.解答した問題番号を解答用紙の所定の箇所に記入すること.
(ⅰ) 12 個のサイコロを同時に投げたとき, 1 の目がちょうど n 個出る確率を P n とする. Pn は n =2 のとき最大になることを示せ.
2015-10821-0107
(ⅱ) a を正の整数とし, p ,q を素数とする.このとき, 2 次方程式
a⁢x 2-p ⁢x+q =0
の 2 解が整数となるような組 ( a,p, q) をすべて求めよ.
2015-10821-0108
(ⅲ) ▵ABC の辺上に,異なる 2 点 X ,Y を, BXYC の順に並ぶように選ぶ. X を通り AB に平行な直線と, Y を通り AC に平行な直線との交点を P とし,直線 AP と辺 BC との交点を Z とする.このとき
CY BX= YZ XZ
となることを示せ.
2015-10821-0109
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
配点は100点
【2】 関数 f ⁡(x )=n ⁢x2 -2⁢ (a1 +a2 +⋯+ an) ⁢x+( a12 +a2 2+⋯ +an 2) を考える.ただし, n は正の整数で, a1 , a2 , ⋯ , an は実数である.次の問いに答えよ.
(1) n=1 および n =2 のとき,常に f ⁡(x )≧0 であることを示せ.
(2) すべての n に対し,常に f ⁡(x )≧ 0 であることを示せ.
(3) (a 1+a 2+⋯ +an ) 2≦n⁢ (a 12+ a22 +⋯+ an 2) であることを示せ.
(4) ( a1+ a2+ ⋯+an )2 =n⁢ (a 12+ a22 +⋯+ an2 ) であれば, a1 , a2 , ⋯ ,an はすべて等しいことを示せ.
2015-10821-0110
教育学部【2】の類題
【3】 c を実数として,次の条件(イ),(ロ)によって定められる数列 { an } がある.
(イ) a1 =0
an +1= { an +c( a n<5 のとき) an -5 ( 5≦an <10 のとき) 2⁢an -c+1 ( an≧ 10 のとき)
(1) c=5 のとき, {a n} を求めよ.
(2) c=10 のとき, {a n} を求めよ.
(3) c<5 のとき, an <10 ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) を示せ.
(4) c= 163 のとき, an >1000 をみたす最小の n を求めよ.
2015-10821-0111
【4】 次の問いに答えよ.ただし, a は正の実数で a ≠1 とする.
(1) ax =ef ⁡(x ) をみたす関数 f ⁡(x ) を求めよ.
(2) 不定積分 ∫ax ⁢dx を求めよ.
(3) 3 |1- x| ⁢(1 +|y | )≦3 をみたす実数の組 ( x,y ) の範囲を x y 平面上に図示せよ.
(4) (3)で図示された範囲の面積を求めよ.