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2015 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点は60点

易□ 並□ 難□

【1】 方程式 x2+ y2+ 2k x-4 ky+ 10k- 20=0 の表す図形 C を考える.ただし, k は実数とする.次の問いに答えよ.

(1) 図形 C は円であることを示せ.

(2) 図形 C k がどのような値であっても定点を通る.その定点の座標を求めよ.

(3) 図形 C で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ.

(4) 図形 C と直線 y =x-2 の共有点の個数を求めよ.

2015 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

理,医学部医学科【3】の類題

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】 次の条件(イ),(ロ)によって定められる数列 { an } がある.

(イ)  a1 =2+ 1

(ロ)  n=1 2 3 に対し

an+ 1={ -2 an- 1 a n<10 のとき) (2 -1) an +6 a n>10 のとき)

次の問いに答えよ.

(1)  a2 a3 a4 a5 を求めよ.

(2)  n5 のとき, an <10 であることを示せ.

(3)  n5 のとき, an n の式で表せ.

2015 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【3】  1 辺の長さが 1 の正四面体を OABC とし, A から平面 OBC に下ろした垂線を AH とする. OA =a OB =b OC =c とおくとき,次の問いに答えよ.

(1) 内積 a b a c b c の値をそれぞれ求めよ.

(2)  AH a b c で表せ.

(3)  AH の大きさ | AH | を求めよ.

(4)  OBC の面積を求めよ.

(5) 正四面体の体積 V を求めよ.

2015 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【4】  0t <2π とする.関数 f (x )=2 x2 +(2 +sint )x +cos2 t-2 について,次の問いに答えよ.

(1)  t= π2 のとき, y=f (x ) の最小値を求めよ.

(2)  t がどのような値であっても, y=f (x ) のグラフは x 軸と異なる 2 つの共有点を持つことを示せ.

(3)  y=f (x ) のグラフが, x 軸から切りとる線分の長さの最小値を求めよ.

(4) (3)のとき, y=f (x ) のグラフと x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

2015 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は(1),(2)で100点

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1)  |x +1| < 12 | y-2 |< 1 3 のとき

|- 8x 3+12 xy +3 y2+ 4|< 10

を示せ.

2015 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は(1),(2)で100点

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2) 次の 3 題(ⅰ)〜(ⅲ)から 1 題選択して解答せよ.解答した問題番号を解答用紙の所定の箇所に記入すること.

(ⅰ)  12 個のサイコロを同時に投げたとき, 1 の目がちょうど n 個出る確率を P n とする. Pn n =2 のとき最大になることを示せ.

2015 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は(1),(2)で100点

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2) 次の 3 題(ⅰ)〜(ⅲ)から 1 題選択して解答せよ.解答した問題番号を解答用紙の所定の箇所に記入すること.

(ⅱ)  a を正の整数とし, p q を素数とする.このとき, 2 次方程式

ax 2-p x+q =0

2 解が整数となるような組 ( a,p, q) をすべて求めよ.

2015 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は(1),(2)で100点

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2) 次の 3 題(ⅰ)〜(ⅲ)から 1 題選択して解答せよ.解答した問題番号を解答用紙の所定の箇所に記入すること.

(ⅲ)  ABC の辺上に,異なる 2 X Y を, BXYC の順に並ぶように選ぶ. X を通り AB に平行な直線と, Y を通り AC に平行な直線との交点を P とし,直線 AP と辺 BC との交点を Z とする.このとき

CY BX= YZ XZ

となることを示せ.

2015 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )=n x2 -2 (a1 +a2 ++ an) x+( a12 +a2 2+ +an 2) を考える.ただし, n は正の整数で, a1 a2 an は実数である.次の問いに答えよ.

(1)  n=1 および n =2 のとき,常に f (x )0 であることを示せ.

(2) すべての n に対し,常に f (x ) 0 であることを示せ.

(3)  (a 1+a 2+ +an ) 2n (a 12+ a22 ++ an 2) であることを示せ.

(4)  ( a1+ a2+ +an )2 =n (a 12+ a22 ++ an2 ) であれば, a1 a2 an はすべて等しいことを示せ.

2015 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

教育学部【2】の類題

配点は100点

易□ 並□ 難□

【3】  c を実数として,次の条件(イ),(ロ)によって定められる数列 { an } がある.

(イ)  a1 =0

(ロ)  n=1 2 3 に対し

an +1= { an +c a n<5 のとき) an -5 5an <10 のとき) 2an -c+1 an 10 のとき)

次の問いに答えよ.

(1)  c=5 のとき, {a n} を求めよ.

(2)  c=10 のとき, {a n} を求めよ.

(3)  c<5 のとき, an <10 n= 1 2 3 を示せ.

(4)  c= 163 のとき, an >1000 をみたす最小の n を求めよ.

2015 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【4】 次の問いに答えよ.ただし, a は正の実数で a 1 とする.

(1)  ax =ef (x ) をみたす関数 f (x ) を求めよ.

(2) 不定積分 ax dx を求めよ.

(3)  3 |1- x| (1 +|y | )3 をみたす実数の組 ( x,y ) の範囲を x y 平面上に図示せよ.

(4) (3)で図示された範囲の面積を求めよ.

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