2015　福岡教育大学　前期MathJax

(問1)　$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　$m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．

(イ)　$k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．

(問2)　$a$を定数とし，$1<a\leqq 2$とする．方程式

$4^x+4^{-x}-3a\cdot 2^x-3a\cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0$

が異なる$3$つの実数解をもつとき，その$3$つの実数解をすべて求めよ．

(問1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．

(問2)　点$\mathrm{P}$が$▵;\mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．

(イ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．

(問1)　関数$f(x)=x-\log x$の最小値を求めよ．

(問2)　$a$を$1$より大きい定数とし，曲線$y=a\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と曲線$y=\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$によって囲まれる部分$D$の面積が$1-\log 2$であるとする．次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　$a$の値を求めよ．

(イ)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

(問1)　$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　$m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．

(イ)　$k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．

(問2)　$a$を定数とし，$a\leqq 2$とする．方程式

$4^x+4^{-x}-3a\cdot 2^x-3a\cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0$

の異なる実数解の個数を求めよ．

$▵\mathrm{DBC}:▵\mathrm{DCA}:▵\mathrm{DAB}=p:q:r$

であるとする．次の問いに答えよ．

(問1)　直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}\text{，}$直線$\mathrm{BD}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{BS}:\mathrm{SC}$および$\mathrm{CT}:\mathrm{TA}$を$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

(問2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{p\overrightarrow{\mathrm{OA}}+q\overrightarrow{\mathrm{OB}}+r\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{p+q+r}}$となることを示せ．

(問1)　$a$の値を求めよ．

(問2)　曲線$y=a\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と曲線$y=\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の交点を求めよ．

(問3)　曲線$y=a\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と曲線$y=\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と$y$軸によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．