2015　九州大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2$

$C_2\text{：}y=-x^2+ax+b$

を考える．ただし，$a\text{，}b$は実数とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a\text{，}b$に関する条件を求めよ．

以下，$a\text{，}b$が(1)の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．

(2)　$b$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

【３】　袋の中に最初に赤玉$2$個と青玉$1$個が入っている．次の操作を考える．

（操作）袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．

この操作を$4$回繰り返す．もらう硬貨の総数が$1$枚である確率と，もらう硬貨の総数が$2$枚である確率をそれぞれ求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．

(2)　$p$を素数とし，$k$を$0$以上の整数とする．$2^{p-1}-1=p^k$を満たす$p\text{，}k$の組をすべて求めよ．

【１】　$C_1\text{，}{C}_2$をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．

$C_1\text{：}y=-x^2+2x\text{，}0\leqq x\leqq 2$

$C_2\text{：}y=-x^2-2x\text{，}-2\leqq x\leqq 0$

また，$a$を実数とし，直線$y=a(x+4)$を$l$とする．

(1)　直線$l$と$C_1$が異なる$2$つの共有点をもつための$a$の値の範囲を求めよ．

以下，$a$が(1)の条件を満たすとする．このとき，$l$と$C_1$で囲まれた領域の面積を$S_1\text{，}x$軸と$C_2$で囲まれた領域で$l$の下側にある部分の面積を$S_2$とする．

(2)　$S_1$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S_1=S_2$を満たす実数$a$が$0<a<{\displaystyle \frac{1}{5}}$の範囲に存在することを示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{x{(\log x)}^2}}dx$は$x>1$において単調に減少することを示せ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{x{(\log x)}^2}}dx$を求めよ．

(3)　$n$を$3$以上の整数とするとき，不等式

${\displaystyle \sum _{k=3}^n}{\displaystyle \frac{1}{k{(\log k)}^2}}<{\displaystyle \frac{1}{\log 2}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする半径$1$の球がある．右の概略図のように，$y$軸の負の方向から仰角${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル$(0,\sqrt{3},-1)$に平行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　球の$z\geqq 0$の部分が$xy$平面上につくる影を考える．$k$を$-1<k<1$を満たす実数とするとき，$xy$平面上の直線$x=k$において，球の外で光が当たらない部分の$y$座標の範囲を$k$を用いて表せ．

(2)　$xy$平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．

(3)　$z\geqq 0$において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．

【４】　袋の中に最初に赤玉$2$個と青玉$1$個が入っている．次の操作を繰り返し行う．

（操作）袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．

(1)　$2$回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．

(2)　奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．

(3)　$8$回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．

(4)　$8$回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど$1$枚である確率を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．

(2)　$n$を自然数とする．$2^n+1$と$2^n-1$は互いに素であることを示せ．

(3)　$p\text{，}q$を異なる素数とする．$2^{p-1}-1=p{q}^2$を満たす$p\text{，}q$の組をすべて求めよ．