2015　九州工業大学　後期MathJax

$S_n=3a_n+n^2-2n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとき，次に答えよ．

(ⅰ)　$a_1\text{，}{a}_2$を求めよ．

(ⅱ)　すべての自然数$n$に対して

$a_{n+1}-\{p(n+1)+q\}=r\{a_n-(pn+q)\}$

が成り立つ定数$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．

(ⅲ)　$a_n$および$S_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　自然数$n$に対して，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{(-1)}^k{a}_k$とする．$T_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅰ)　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$のとき，不等式$ac+{\displaystyle \frac{b}{c}}\geqq 2\sqrt{ab}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(p,q)$とする．点$\mathrm{C}(x,y)$を次が成り立つようにとる．

$\overrightarrow{\mathrm{MC}}=(-qr,pr)\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{MC}}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$

ただし，$r>0$とする．$p\text{，}$$q$および$x\text{，}$$y$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)の点$\mathrm{C}$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最小値とそのときの$t^2$の値を求めよ．

(ⅳ)　$t$が変化するとき，(ⅱ)の点$\mathrm{C}$の軌跡を求め，図示せよ．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，$x$の方程式$\sin 2x-2\sin t\cos x=0$を解け．

(ⅱ)　$f(t)$を求めよ．

(ⅲ)　$t$が変化するとき，$f(t)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$t$の値を求めよ．

(ⅳ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}f(t)dt$を求めよ．

(ⅰ)　$p\text{，}q$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{OPQ}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$とする．また，$a>p$とし，曲線$C$と$x$軸および$2$直線$l\text{，}x=a$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．

(a)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}$を求めよ．

(b)　(ⅱ)で求めた$t$の値に対して，${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}=24$をみたす$a$の値を求めよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$t=\tan \theta$とおいて，点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた点$\mathrm{R}$の座標から変数$t$を消去し，点 $\mathrm{R}$の軌跡の方程式$y=f(x)$を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

(ⅴ)　$x$軸，$y$軸，(ⅲ)で求めた曲線$y=f(x)\text{，}$および(ⅳ)で求めた変曲点を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

(ⅰ)　放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$における法線が点$\mathrm{A}$を通るための条件を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$p\text{，}q$を実数とする．$3$次方程式$x^3-3px+q=0$がちょうど$2$つの異なる実数解を持つための条件を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(ⅲ)　点$\mathrm{A}$が放物線$C$上にある場合を考える．放物線$C$の法線で点$\mathrm{A}$を通るものがちょうど$2$本存在するような点$\mathrm{A}$があれば，すべて求めよ．

$f_1(x)=(x^2-2x+5c)e^x$

$f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime }(x)$

と定める．さらに，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次の式で定める．

$f_n(x)=(x^2+a_{n}x+b_n)e^x\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表し，$b_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$a_n$と$b_n$をそれぞれ$n\text{，}c$を用いて表せ．

(ⅲ)　$p\text{，}q$を実数とする．曲線$y=(x^2+px+q)e^x$が変曲点をもつための条件を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(ⅳ)　$c$の値によらず曲線$y=f_n(x)$が変曲点をもつような最小の$n$を求めよ．

(＊)　すべての$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}2n\text{）}$に対して$S(k)\geqq 0$である．

条件(＊)をみたす並べ方の総数を$f(n)$とする．たとえば，$n=1$のとき，条件(＊)をみたす並べ方は$(1,-1)$のみであるので，$f(1)=1$である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(2)$を求めよ．

(ⅱ)　$n=3$のとき，条件(＊)をみたす並べ方のうち$S(k)=0$が成立する最小の$k$が$2$となる並べ方をすべて求め，さらに$f(3)$を求めよ．

(ⅲ)　条件(＊)をみたす並べ方のうち$S(k)=0$が成立する最小の$k$が$2n$となる並べ方の総数を$g(n)$とする．このとき，$g(4)$と$g(5)$を求めよ．

(ⅳ)　$f(6)$を求めよ．