2015　佐賀大学　後期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$2$つの等式

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{m}}\text{，}\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

を満たす$\theta$が存在するような自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

(2)　$3$つの等式

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{m}}\text{，}\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{n}}\text{，}\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{2}{n}}$

を満たす$\alpha \text{，}\beta$が存在するような自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{2}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n-2}{a_n+1}}$とおくとき，$a_n$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　(1)の数列$\{b_n\}$の漸化式を導き，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$x>0$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}(x-t)\log tdt$

について，次の問に答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }t\log tdt$を求めよ．

(2)　$f(x)$および$f\prime (x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$の極値を求めよ．

【４】　曲線$C_1\text{：}y=e^x$と曲線

$C_2\text{：}y=e^{3x}-(e-{\displaystyle \frac{1}{e}})e^{2x}$

について，次の問に答えよ．

(1)　方程式$x=x^3-(e-{\displaystyle \frac{1}{e}})x^2$を解け．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点が$1$点だけであることを示せ．また，共有点$\mathrm{P}$の座標$(a,b)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$に対して，$x<a$において$C_1$は$C_2$の上側にあることを示せ．

(4)　(2)で求めた$a$に対して，$x<a$のとき，$C_1$と$C_2$および直線$x=t$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．極限値$\underset{t\to -\infty }{\lim }S(t)$を求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{2}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n-2}{a_n+1}}$とおくとき，$a_n$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　(1)の数列$\{b_n\}$の漸化式を導き，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とする．放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$(a,a^2)$を$\mathrm{P}$とし，点$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$を$\mathrm{A}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の$y$座標を$a$を用いて表せ．

(2)　(1)の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$を示せ．

(3)　直線$\mathrm{AP}$と$C$の交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$d$とする．$d$を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)の点$\mathrm{Q}$について，線分$\mathrm{PQ}$と$C$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$を(3)の$d$のみを用いて表せ．

【４】　$a$を実数とするとき，関数

$f(x)=4^x+4^{-x}-2a(2^x+2^{-x})+a^2+2a-5$

について，次の問に答えよ．

(1)　$t=2^x+2^{-x}$とおくとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$f(x)$を$t$と$a$を用いて表せ．

(2)　方程式$f(x)=0$が異なる$4$個の実数解をもつように，$a$の値の範囲を定めよ．