2015　熊本大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．曲線$C_1\text{：}y=x^2$上の点$(a,a^2)$における接線を$l$とする．曲線$C_2$を$y=x^2-1$ とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$l$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ，

(問２)　$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$とする．曲線$C_3\text{：}y=-x^2+1$と$C_2$とで囲まれた部分は$l$によって$2$つの部分に分けられる．これらのうち，点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を含む部分の面積を求めよ．

【２】　座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(3,0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,2,0)$を含む平面を$H$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　点$\mathrm{P}(-3,2,2)$は$H$上の点であることを示せ．

(問２)　点$\mathrm{Q}(1,-3,-4)$を通る直線が$H$と直交するとき，その交点の座標を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{X}}_1$とし，線分${\mathrm{AX}}_1$の長さを$1$とする．また，${\mathrm{BX}}_1=1\text{，}{\mathrm{CX}}_1=8$とする．各$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して以下の操作を行う．

　辺$\mathrm{BC}$上の点${\mathrm{X}}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を${\mathrm{Y}}_n$とする．また，点${\mathrm{Y}}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を${\mathrm{Z}}_n$とする．点${\mathrm{Z}}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{X}}_{n+1}$とする．

線分${\mathrm{Z}}_n{\mathrm{X}}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$l_1$を求めよ．

(問２)　$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．

(問３)　数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1\text{，}$定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha \text{，}\beta$に対して$f\prime (\alpha )=f\prime (\beta )=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(\alpha )\text{，}f(\beta )$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(問２)　不等式$\alpha <\beta <3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．

【２】　$p\text{，}q\text{，}r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,p,0)\text{，}\mathrm{B}(q,1,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,-1,r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．

(問１)　$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．

(問２)　$q\text{，}r$を$p$を用いて表せ．

(問３)　$p\prime \text{，}q\prime \text{，}r\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}\prime (1,p\prime ,0)\text{，}\mathrm{B}\prime (q\prime ,1,1)\text{，}\mathrm{C}\prime (-1,-1,r\prime )$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}\prime }\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}\prime }\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}\prime }$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p\prime \text{，}q\prime \text{，}r\prime$を$p$を用いて表せ．

(問４)　(問３)における$3$点$\mathrm{A}\prime \text{，}\mathrm{B}\prime \text{，}\mathrm{C}\prime$は一直線上にないことを示せ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{X}}_1$とし，線分${\mathrm{AX}}_1$の長さを$1$とする．また，${\mathrm{BX}}_1=1\text{，}{\mathrm{CX}}_1=8$とする．各$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して以下の操作を行う．

　辺$\mathrm{BC}$上の点${\mathrm{X}}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を${\mathrm{Y}}_n$とする．また，点${\mathrm{Y}}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を${\mathrm{Z}}_n$とする．点${\mathrm{Z}}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{X}}_{n+1}$とする．

線分${\mathrm{Z}}_n{\mathrm{X}}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$l_1$を求めよ．

(問２)　$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．

(問３)　$l_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<{\log }_{2}9<3.17$を用いてもよい．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-x}|\sin x|dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$a_{n+1}-a_n$を求めよ．

(問２)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(問３)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{AC}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とし，条件

$a+b+c=1\text{，}9ab=1$

が成り立つとする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$a$の値の範囲を求めよ．

(問２)　$\theta =\angle \mathrm{C}$とするとき，$\cos \theta$の値の範囲を求めよ．

【３】　$a$と$b$を正の実数とする．$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{X}}_1$とし，線分${\mathrm{AX}}_1$の長さを$1$とする．また，${\mathrm{BX}}_1=a\text{，}{\mathrm{CX}}_1=b$とする．各$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して以下の操作を行う．

　辺$\mathrm{BC}$上の点${\mathrm{X}}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を${\mathrm{Y}}_n$とする．また，点${\mathrm{Y}}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を${\mathrm{Z}}_n$とする．点${\mathrm{Z}}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{X}}_{n+1}$とする．

線分${\mathrm{Z}}_n{\mathrm{X}}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$l_1$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(問２)　$l_{n+1}$を$l_n\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

(問３)　$b=8a$のとき，$l_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<{\log }_{2}9<3.17$を用いてもよい．

【４】　$r$を正の実数とする．数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-rx}|\sin x|dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$a_{n+1}-a_n$を求めよ．

(問２)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(問３)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を$r$を用いて表せ．

(問４)　(問３)で求めた$r$の式を$f(r)$とおく．$\underset{r\to +0}{\lim }rf(r)$を求めよ．