2015　大分大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．円$x^2+y^2-4x-8y+15=0$と直線$y=ax+1$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わっている．

(1)　$a$の値の範囲を求めなさい．

(2)　弦$\mathrm{AB}$の長さが最大になるときの$a$の値を求めなさい．

(3)　弦$\mathrm{AB}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めなさい．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}$があるとする．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{R}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$と$▵\mathrm{PRQ}$の重心$\mathrm{H}$が一致するとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．

(3)　直線$\mathrm{AR}\text{，}\mathrm{BQ}\text{，}\mathrm{CP}$が一点で交わるとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}$を求めなさい．

【３】　$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)　$k$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$S$を$k$の式で表しなさい．

(3)　$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．

【４】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=n^4+6n^3+11n^2+6n$

で表されるとする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=4n(n+1)(n+2)$であることを示しなさい．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定まる数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を$n$の式で表しなさい．

【４】　曲線$C\text{：}4x^2+9y^2=36\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},y_1)$が第$1$象限にある．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$l$とする．

(1)　$y_1$の値を求めなさい．

(2)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(3)　接線$l$と$x$軸との交点の$x$座標を求めなさい．

(4)　曲線$C\text{，}$接線$l\text{，}x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

【１】　方程式$y^2=x^6(1-x^2)$が表す図形で囲まれた面積を求めなさい．

【２】　方程式$x^4+x^2+1=0$の解で，実部と虚部がともに正のものを$x_1\text{，}$実部が負で虚部が正のものを$x_2\text{，}$実部と虚部がともに負のものを$x_3\text{，}$雑部が正で虚部が負のものを$x_4$とする．

(1)　この方程式を解きなさい．

(2)　${x_1}^k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6\text{）}$を計算しなさい．

(3)　与方程式の解$x_i$と自然数$n$に対して，${x_i}^{4n}+{x_i}^{2n}+1\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$を求めなさい．

【３】　正の実数$p_i\text{，}{q}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$が${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{q}_i=1$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)　不等式$\log x\leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　不等式${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i\log p_i\geqq {\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i\log q_i$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　$F={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{p}_i\log p_i$の最小値を求めなさい．

(4)　正の実数$a_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$に対して，$G={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i\log a_i$の最小値を求めなさい．