2015　宮崎大学　前期MathJax

【１】　右図の$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の延長上に$\mathrm{AB}=\mathrm{BD}$となる点$\mathrm{D}$がある．同様に，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CE}$となる点$\mathrm{E}$が，辺$\mathrm{CA}$の延長上に$\mathrm{CA}=\mathrm{AF}$となる点$\mathrm{F}$がそれぞれある．$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{GE}$と$\mathrm{GE}$線分$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{FD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}$とする．このとき，次の比を求めよ．

(1)　$\mathrm{CH}:\mathrm{HA}$

(2)　$\mathrm{BI}:\mathrm{IA}$

(3)　$\mathrm{DJ}:\mathrm{JF}$

【２】　初項$a_1=0$と漸化式

$a_{n+1}=(1-r)r^{n-1}+r^2{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r\ne 0\text{，}r\ne 1$とする．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を計算し，$r\text{，}n$を用いて表せ．

【３】　曲線$C\text{：}y=|x^2-6x|$と直線$l\text{：}y=kx$（$k$は実数）について，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$を座標平面上に図示せよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$が異なる$3$つの共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)のとき，曲線$C$と直線$l$で囲まれた$2$つの部分の面積の和が最小になるような$k$の値を求めよ．

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$の$3$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$がある．$\mathrm{OP}=\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{AQ}=2\mathrm{QB}$とし，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{B}$とは異なるものとする．$▵\mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．ただし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【２】　右図の$▵\mathrm{ABC}$は，$\angle \mathrm{A}=90\mathrm{°}$で$\mathrm{AB}=1$の直角二等辺三角形である．この$▵\mathrm{ABC}$の中に右図のように長方形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$と長方形${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4$をおき，頂点${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{Q}}_1$が線分$\mathrm{AB}$上に，頂点${\mathrm{P}}_4$と${\mathrm{Q}}_4$が線分$\mathrm{AC}$上にあるようにする．さらに，頂点${\mathrm{P}}_2$と${\mathrm{P}}_3$がともに線分$\mathrm{BC}$上に，頂点${\mathrm{Q}}_2$と${\mathrm{Q}}_3$がともに線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$上にあるようにする．$x={\mathrm{BP}}_2\text{，}y={\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_2$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　長方形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の面積と長方形${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4$の面積の和を，$x$と$y$を用いて表せ．

(2)　$x$の値を固定して$y$の値を変化させたとき，長方形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の面積と長方形${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4$の面積の和の最大値を$S(x)$とおく．このとき，$S(x)$を，$x$を用いて表せ．

(3)　$x$の値を変化させるとき，(2)で求めた$S(x)$の最大値を求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　次の関数を微分せよ．

(a)　$y=\sin (\cos x)$(b)　$y={\displaystyle \frac{e^{2x}}{x+1}}$

【３】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　次の定積分の値を求めよ．

(a)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sin x\cos x|dx$	(b)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{\displaystyle \frac{x^3+2x^2-3}{x^2-1}}dx$
(c)　${\displaystyle {\int }_0^1}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4-3x^2}}})dx$	(d)　${\displaystyle {\int }_1^2}{x}^3\log xdx$

【４】　座標平面上に点$\mathrm{P}$があり，次のルールにより，点$\mathrm{P}$は移動する．

　$a\text{，}b\text{，}c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が

$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，

$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，

$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．

　最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b\to a\to c\to c\to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，

$(0,0)\to (-1,0)\to (0,0)\to (0,1)\to (0,2)\to (1,2)$

と変化する．

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,y)$が$|x|\leqq 1\text{，}1\leqq y\leqq 2$となる確率を求めよ．

【２】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

【４】　$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数

$\begin{array}{ll}f(x)=& \cos 2x\cos x+2a\sin 2x-2\cos 2x-8a\sin x\\ & -(b+1)\cos x+2(b+1)\end{array}$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$X=\sin x\text{，}Y=\cos x$とおくとき，

$f(x)=(Y-\boxed{\text{ア}})(-\boxed{\text{イ}}{X}^2+\boxed{\text{ウ}}X-b)$

と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a\text{，}b$を用いた文字式を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a\text{，}b$を座標平面上の点$(a,b)$として図示せよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は

$\sqrt[3]{3}{a_{n+2}}^3={a_n}^4\text{，}{a}_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．$a_1=1\text{，}{a}_2=2$のとき，$a_{2k-1}$（$k$は自然数）を，$k$を用いて表せ．

【４】　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たす$\theta$について，$r(\theta )=\sqrt{2\cos 2\theta }$とするとき，座標平面上で円$x^2+y^2={\{r(\theta )\}}^2$と直線$y=(\tan \theta )x$は$2$つの交点をもつ．そのうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$f(\theta )\text{，}y$座標を$g(\theta )$とする．$\theta$を$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の範囲で動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f(\theta )\text{，}g(\theta )$を求めよ．

(2)　$g(\theta )$の最大値を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸，直線$x=f\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$つの袋に$1$から$n$までの数を$1$つずつ書いた$n$個の球と，数$0$を書いた$2$個の球が入っている．これら$(n+2)$個の球が入っている袋から，元に戻すことなく，$1$個ずつ$3$回球を取り出し，その$3$個に書かれている数を取り出した順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．事象$a+b\leqq c$の起こる確率を$P(n)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$P(3)$を求めよ．

(2)　$n$を偶数とするとき，$P(n)$を，$n$を用いて表せ．