2015　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並べかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　半径$r$の円$O^{\prime }$が半径$2r$の円$O$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$O^{\prime }$は円$O$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$O$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}=60\mathrm{°}$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$1$次不定方程式

$37x+32y=1$

の整数解を$1$組求めよ．

【２-１】　$0$でない実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が$3^a=5^b=7^c={195}^d$を満たすとき，

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{1}{d}}$

が成り立つことを示せ．

【２-２-１】　関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について

$S={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx\text{，}T={\displaystyle {\int }_0^2}g(x)dx$

とおく．ただし，$m\geqq 0\text{，}n\geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．

(2)　$S\geqq 0\text{，}T\geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．

【２-２-２】　関数$f(x)=x{e}^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよい．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３-１】　数列$\{a_n\}$は$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}-a_n={\displaystyle \frac{n(1+{(-1)}^{n+1}\}}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により定まるものとして，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$をそれぞれ求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を

$b_n=a_{2n-1}\text{，}{c}_n=a_{2n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，一般項$b_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{50}}{(-1)}^n{a}_n$を求めよ．

【３-２】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$

を満たしていると仮定する．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{M}\ne \mathrm{P}$のとき，線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t\overrightarrow{a}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３-３】　整数$n\text{（}n\geqq 4\text{）}$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．

(1)　$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．

(2)　確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．

(3)　$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$x$の整式$f(x)$に関する性質$P$と$Q$をそれぞれ

$P\text{：}f(x)=x^2-4x+3$

$Q\text{：}f(1)=0$かつ$f(3)=0$

とするとき，次の(a)から(d)の中で正しいものを選び，それが正しい理由を述べよ．

(a)　$P$は$Q$の必要十分条件である．

(b)　$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}$の十分条件であるが必要条件でない．

(c)　$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}$の必要条件であるが十分条件でない．

(d)　$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}$の必要条件でも十分条件でもない．

【４】　関数$f(x)=x{e}^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよい．

(2)　$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．

(3)　$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．

【５】　次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　方程式$z^4=-1$を解け．

(2)　$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta |=\sqrt{2}|z-\alpha |$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．

(3)　点$z$が(2)の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．

【５-１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right)$となるような点$(x,y)$が$2$つ以上あることを示せ．

【５-１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$a$と$k$を実数とする．$\left(\begin{array}{cc}3a& 1\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$となるような原点以外の点$(x,y)$があるとき$a$を$k$を用いて表せ．

【５-１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$n$を自然数とする．等式$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 2\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}& \sqrt{2}\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$を満たす点$(x,y)$が描く図形の方程式を求めよ．

【５-２】　次の各問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$r$の円を$y$軸を基準とし，$x$軸方向に$a$倍してできる楕円の焦点を求めよ．ただし，$a>0$とする．

【５-２】　次の各問いに答えよ．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$かつ$\cos \theta \ne 0$の範囲で変化するとき，放物線$y=x^2-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{\cos \theta }}x+{\displaystyle \frac{2+\sin 2\theta }{{\cos }^2\theta }}$の頂点の描く曲線の方程式を求めよ．

【５-２】　次の各問いに答えよ．

(3)　半径$3$の円$C$の中心は，はじめ$(3,3)$にあり，$C$上の定点$\mathrm{P}$は$C$と$y$軸との接点にある．この位置から$C$が$x$軸上を正の方向に滑らずに転がり，角$\theta$だけ回転したときの，点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【５-４】　ある病気に対して投与する薬の効果の有無を調べたい．薬を投与し，効果有と判断される比率は$p$であるとする．この病気を持った患者から無作為に$n$人を選び，薬を投与したとき，$i$番目の患者に薬の効果が認められれば$1$とし，認められなければ$0$とする確率変数を$X_i$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　標本平均$\bar{X}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{X}_i$の平均，および分散を求めよ．

(2)　この病気を持った患者から無作為に$400$人を選び，薬を投与したところ$320$人に薬の効果が認められた．このとき，母比率$p$の信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を，小数第$3$位を四捨五入して求めよ．ただし，標本の大きさ$400$は十分大きい数とみなせるとし，また確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z<-1.96)=0.025$が成り立つとする．