2015　琉球大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　${\log }_2{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\log }_2{\displaystyle \frac{3}{4}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{JP}(\cos \theta ,\sin \theta )$をとる．$0\leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　頂点が点$\mathrm{A}(0,4)$で，点$\mathrm{B}(2,0)$を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．

問１　この放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．

問２　この放物線上にあり，$x$座標が$2a\text{（}a>0\text{）}$である点を$\mathrm{C}$とする．この放物線と$x$軸との交点で，点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$における放物線の接線$l_1$と点$\mathrm{D}$における放物線の接線$l_2$との交点$\mathrm{E}$の座標を，$a$を使って表せ．

問３　この放物線と直線$l_2\text{，}$および点$\mathrm{E}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}{e}^{t}dt$とするとき，$F(1)$および$F^{\prime }(x)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　関数$f(x)\text{，}g(x)$が，

$\{\begin{array}{c}f(x)+{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt=2\sin x-3\\ f^{\prime }(x)g(x)={\cos }^{2}x\end{array}$

を満たすとき，$f(x)\text{，}g(x)$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=\left|x\right|\sqrt{1-x^2}\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx$を求めよ．

【３】　確率$p\text{（}0<p<1\text{）}$で「当たり」が出るくじを繰り返し引く．$2$回目の「当たり」が出たときにこの試行を終える．$n\geqq 2$として，$n$回目でこの試行を終える確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

問１　$p_2\text{，}{p}_3\text{，}{p}_4$を求めよ．

問２　$p_n$を求めよ．

問３　$N\geqq 2$として，${\displaystyle \sum _{k=2}^N}{p}_k$を求めよ．

【４】　$t$を媒介変数として，$x=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}y=2t-{\displaystyle \frac{2}{t}}$で表される曲線を考える．次の問いに答えよ．

問１　$t$を消去して，$x$と$y$の関係式を求めよ．

問２　$a$を定数とするとき，直線$y=ax+5$とこの曲線との共有点の個数を調べよ．