2015　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　$a$と$c$は実数で$a>0$とする．また，関数$f(x)$を次式で定義する．

$f(x)=(x^2+a){(x-a^2)}^2-c{x}^2$

(1)　方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ．

　今後，方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．

(2)　方程式$f(x)$の$3$個の異なる実数解を$a$を用いて表せ．

(3)　$y=f(x)$のグラフのうち$f(x)\geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．このとき$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{a^5}}$を求めよ．

【２】　$p$を$0\leqq p\leqq 1$をみたす実数とする．$1$個の白玉と$3$個の赤玉が入っている袋があり，この袋から$1$個の玉を取り出して，取り出した玉に新たに白か赤の玉を$1$個加えて袋に戻す試行を行う．ただし，この試行の際に加えられる新たな玉の色は

・確率$p$で取り出した玉と同じ色

・確率$1-p$で取り出した玉と異なる色

とする．

　例えば，$p=1$の場合第$1$回目の試行において赤玉が取り出されると，取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す．そして第$1$回目の試行が終わったときには，袋の中に$1$個の白玉と$4$個の赤玉が入っている．

　第$n$回目の試行で白玉が取り出される確率を$q_n$とする．

(1)　第$n$回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり，かつこの白玉が$n+1$回目の試行で取り出される確率を$n\text{，}p\text{，}{q}_n$を用いて表せ．

(2)　$q_{n+1}$を$n\text{，}p\text{，}{q}_n$を用いて表せ．ただし$n+1$回目の試行において，$n$回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で，$n+1$回目に白玉を取り出す条件付き確率が$q_n$と等しいことを用いてよい．

(3)　$r_n=q_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}$とおくとき，$r_{n+1}$を$n\text{，}p\text{，}{r}_n$を用いて表せ．

(4)　$p=0\text{，}p={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}p=1$のときの$q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とする．また直線$\mathrm{AI}$が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　線分$\mathrm{BD}$の長さを$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

　今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．

(3)　${\displaystyle \frac{T}{S}}$を$a$を用いて表せ．

(4)　$b<a<c$とするとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】(1)　次の不定積分を求めよ．

$\text{①}$　${\displaystyle \int }t\sin tdt$

$\text{②}$　${\displaystyle \int }{t}^2\cos tdt$

　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x\geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,y_q)$を次の条件をみたすようにとる．

・$y_q\leqq y_p$

・線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x\geqq 0$に存在する方）の長さに等しい

・$\mathrm{P}$の座標が$(0,2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる

・$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta =0$とする

(2)　$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{P}$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．

(5)　$\mathrm{P}$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．