2015　釧路公立大学　中期MathJax

2015　釧路公立大学　中期

易□　並□　難□

【１】　以下の各問に答えよ．

問１　 $x = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} ， y = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$ のとき， $x^{2} + y^{2}$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　以下の各問に答えよ．

問２　 $x$ の整式 $f (x)$ を $x^{2} - x - 6$ で割った余りが $3 a x + 15$ で， $f (x)$ を $x^{2} - 7 x + 12$ で割った余りが $5 x - 3$ であるとき，定数 $a$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　以下の各問に答えよ．

問３　 ${(2 x - 3 y)}^{5}$ の展開式における， $x^{2} y^{3}$ の係数を求めよ．

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【２】　 $2$ 次関数： $y = 4 x^{2} + 2$ と直線： $y = 4 x + k$ について，以下の各問に答えよ．

問１　この $2$ 次関数と直線がただ一つの共有点をもつときの $k$ の値を求めよ．

問２　 $k = 3$ のとき，この $2$ 次関数と直線の共有点の $x$ 座標を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　 $x y$ 平面上に円 $C ： x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 16 = 0$ と直線 $l ： - 3 x - 4 y + 12 = 0$ がある．このとき，以下の各問に答えよ．

問１　円 $C$ の中心の座標と半径を求めよ．

問２　円 $D$ は直線 $l$ に接し，円 $C$ と外接している．また，その中心の $y$ 座標が円 $C$ の中心の $y$ 座標に等しい．円 $D$ の中心の座標と半径を求めよ．

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【４】　以下の各問に答えよ．

問１　製品が $50$ 個あり，そのうち $5$ 個が不良品である．この $50$ 個の中から $2$ 個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．

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【４】　以下の各問に答えよ．

問２　平行四辺形 $ABCD$ の辺 $AB$ の中点を $E$ とする．また， $▵ BCD$ の重心を $G$ とし，直線 $DG$ と辺 $BC$ との交点を $F$ とする． $EF = 9$ のとき，線分 $AG$ の長さを求めよ．

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【４】　以下の各問に答えよ．

問３　右の図において，直線 $l$ は $2$ つの円 $O ， O^{'}$ の共通接線で， $A ， B$ は接点である．円 $O$ の半径を $5 ，$ 円 $O^{'}$ の半径を $3$ とし， $O ， O^{'}$ 間の距離を $10$ とするとき，線分 $AB$ の長さを求めよ．