2015　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}b$を実数とする．また，実数$x$に対する$2$つの条件$x(x^2+ax+b)=0$と$x=0$が，互いに同値であるとする．このとき，$a$と$b$がみたす関係を求め，点$(a,b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問２　方程式$20\cdot {15}^{-x}+{225}^x-21=0$を解け．

【２】　以下の問いに答えよ．

問１　正弦，余弦に関する加法定理

$\{\begin{array}{l}\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}$

を用いて等式$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$を証明せよ．

問２　関数$y=\sin 3x+3\cos 2x+6\sin x\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値をすべて求めよ．

【３】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$y=x^2$の上を相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$は$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるように動くとする．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$a$と$b$がみたす関係を求めよ．

問２　直線$l$の方程式を$y=px+q$とする．$q$の値を求めよ．

問３　原点$\mathrm{O}$から直線$l$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．点$\mathrm{H}$の軌跡を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．

$a_1=10\text{，}{b}_1=24\text{，}{a}_{n+1}=2a_n-8\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n+6\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　以下の問いに答えよ．

問１　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

問２　$3$辺の長さが，それぞれ$a_2\text{，}{b}_2\text{，}6$である三角形は存在しないことを示せ．

問３　$3$辺の長さが，それぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}6$である三角形が存在するような$n$の値をすべて求めよ．

【２】　関数$f(x)=|x^2-1|$に対し，$F(a)={\displaystyle {\int }_a^{a+1}}f(x)dx$とする．ただし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

問１　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

問２　$F(a)$を求めよ．

問３　$F(a)$の最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

【１】　関数$y=x^2{e}^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

問１　曲線$C$をかけ．ただし，$x\leqq 2$の範囲でよい．

問２　曲線$C$が直線$y={\displaystyle \frac{1}{e}}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．

問３　曲線$C$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{e}}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$x$の関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}}{x}^k=x+\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{n}}{x}^n$

で定める．ただし，$0\leqq x<1$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$|f_{n+1}({\displaystyle \frac{1}{2}})-f_n({\displaystyle \frac{1}{2}}\left)\right|\leqq {\displaystyle \frac{1}{1000(n+1)}}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．

問２　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f_n}^{\prime }(x)$を求めよ．

問３　$n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x)\leqq \log (x+1)$を示せ．