2015　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

2015　公立はこだて未来大学　推薦

配点35点

易□　並□　難□

【１】　 $x ， y$ は実数とする．命題「 $x^{2} - 2 y^{2} + x y \neq 0$ ならば $x \neq y$ である」について，以下の問いに答えよ．

問１　命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．

問２　命題が真であることを証明せよ．

問３　命題の裏は偽である．反例を $1$ つあげよ．

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配点40点

易□　並□　難□

【２】　 $f (x) = | x^{2} - 7 x + 10 |$ とおく．以下の問いに答えよ．

問１　関数 $y = f (x)$ のグラフを座標平面に描け．

問２　関数 $y = f (x)$ のグラフと直線 $y = k x$ が，相異なる $3$ つの共有点をもつとき，定数 $k$ の値を求めよ．

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配点40点

易□　並□　難□

【３】　 $f_{0} (x) = x^{2} + 2 x$ とおく．このとき

$f_{n + 1} (x) = f_{n} (3 x) - 2 f_{n} (x) （ n = 0 ， 1 ， 2 ， \dots ）$

で定められる関数 $f_{1} (x) ， f_{2} (x) ， f_{3} (x) ， \dots$ について，以下の問いに答えよ．

問１　 $f_{1} (x)$ と $f_{2} (x)$ を求めよ．

問２　 $f_{n} (x)$ を推測して，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

問３　曲線 $y = f_{n} (x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S_{n}$ を求めよ．また， $\frac{S_{n}}{S_{1}} ≦ \frac{1}{7^{10}}$ となるような $n$ の最小値を求めよ．

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配点35点

易□　並□　難□

【４】　 $a$ を $\sqrt{2}$ 以上の定数とする． $0 ≦ θ ≦ π$ のとき，座標平面上の $2$ 点 $A (1, 0) ， B (\cos θ, a \sin θ)$ について，以下の問いに答えよ．

問１　線分 $AB$ の長さを $a$ と $\cos θ$ を用いて表せ．

問２　線分 $AB$ の長さの最大値を $a$ を用いて表せ．また，そのときの $\cos θ$ の値を $a$ を用いて表せ．