2015　青森公立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問題１　次の式を因数分解せよ．

$3x^2-4xy-8x-4y^2-8y-3$

【１】　次の問いに答えよ．

問題２　$0\mathrm{°}\leqq \theta <90\mathrm{°}$のとき，次の式を計算せよ．

${\{{({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+\tan \theta )}^4+{({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}-\tan \theta )}^4\}}^2$$-{\{{({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+\tan \theta )}^4-{({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}-\tan \theta )}^4\}}^2$

【１】　次の問いに答えよ．

問題３　$x+y+z\ne 0$のとき，次の式の値を求めよ．

${\displaystyle \frac{x+2y}{z}}={\displaystyle \frac{y+2z}{x}}={\displaystyle \frac{z+2x}{y}}$

【２】　$x$の$2$次方程式$x^2+(a+2)x+2a+b=0$について考える．$a\text{，}b$を以下のように決める．

　サイコロを$2$回投げる．$1$回目に出た目を$a$とする．$2$回目に出た目が$4$以下のとき$b=1$とし，$5$以上のとき$b=0$とする．

問題１　この方程式が実数解を持つ確率を求めよ．

問題２　この方程式について，少なくとも$1$つの実数解が$x<-{\displaystyle \frac{5}{2}}$となる確率を求めよ．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円$O$に内接し，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\cos \angle \mathrm{ABC}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$をみたしており，$▵\mathrm{ADC}$の面積は$▵\mathrm{ABC}$の面積の$2$倍とする．

問題１　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

問題２　$\mathrm{AD}\cdot \mathrm{CD}$の値を求めよ．

問題３　${\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{CD}}^2$の値を求めよ．

問題４　$\mathrm{AD}<\mathrm{CD}$のとき$\mathrm{AD}$と$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

【４】　$n$を自然数として，次の式の値を考える．

$f(n)={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}$

問題１　$n(n+1)(n+2)(n+3)$が$24$の倍数であることを証明せよ．

問題２　$f(n)=35$を満たすような$n$の値を求めよ．

問題３　$n$が$1\leqq n\leqq 35$のとき，$f(n)$の値が$35$の倍数になるような$n$は何個あるか．