2015　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$▵\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$(2,3)$であり，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{AC}$の方程式は，それぞれ，$4x-5y+23=0\text{，}4x+y-19=0$である．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$3$本の直線$l_1\text{：}x+3y-15=0\text{，}{l}_2\text{：}-x+3y+9=0\text{，}{l}_3\text{：}3x+y+3=0$で囲まれる三角形に内接する円の方程式を求めなさい．

【２】　$a$を定数とするとき，次の方程式を満たす相異なる$\theta$の個数を求めたい．このとき，以下の問いに答えなさい．

$3{\sin }^2\theta +2\cos \theta +a=0\text{（}-\pi \leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

[問１]　$\cos \theta =t$とし，$a$を$t$についての方程式として表しなさい．

[問２]　$a$の値に対して，与えられた方程式を満たす相異なる$\theta$の個数を答えなさい．

【３】　自然数$n>4$について，次の$3$つの式の大小関係を，その理由とともに答えなさい．ただし，$a>1$とする．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\log }_{a}k\text{，}(n-1){\log }_{a}2\text{，}{\log }_a(1+2+3+\cdots +n)$

【４】　右図のように指数関数$g(x)={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x-10}$上に頂点を持つ放物線$C_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．指数関数$g(x)$上の点$(1,g(1))\text{，}(3,g(3))\text{，}(5,g(5))\text{，}\cdots$が，それぞれ，各放物線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots$の頂点となっている．また，各放物線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots$の$x$軸との交点は，それぞれ，$(0,0)\text{と}(2,0)\text{，}(2,0)\text{と}(4,0)\text{，}(4,0)\text{と}(6,0)\text{，}\cdots$となっている．放物線$C_n$と$x$軸で囲まれる面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

[問１]　放物線$C_n$を表す，$x$の$2$次関数$f_n(x)$を答えなさい．

[問２]　面積$S_n$を$n$についての方程式として表しなさい．

[問３]　次の式を満たす$m$のうちで最小の値を求めなさい．

${\displaystyle \sum _{i=1}^m}{S}_i>900$