2015　岩手県立大学　後期MathJax

【１】　関数$f(x)$と$g(x)$が次の式を満たすとき，$f(x)$と$g(x)$をそれぞれ求めなさい．

$f(x)=x^2{e}^x+g^{\prime }(x)$

$g(x)={\log }_e(x^2+2x+1)+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$

【２】　$xy$平面上の原点を出発して，$x$軸の正の方向に${\displaystyle \frac{1}{2^0}}$だけ進んだ点を${\mathrm{A}}_0$とする．次に${\mathrm{A}}_0$で進行方向を反時計回りに$60\mathrm{°}$回転し，${\displaystyle \frac{1}{2^1}}$だけ進んだ点を${\mathrm{A}}_1$とする．以後、同様に$A_{n-1}$で反時計回りに$60\mathrm{°}$回転し，${\displaystyle \frac{1}{2^n}}$だけ進んだ点を${\mathrm{A}}_n$とする．

　このとき${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots$の極限の座標を求めなさい．

【３】　$xy$平面において，$2$次関数$y=x^2+2x+3$上の点$\mathrm{P}$と定点$\mathrm{Q}(-6,1)$を考える．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離が最小になるときの点$\mathrm{P}$の座標を答えなさい．

【４】　四面体$\mathrm{PABC}$の辺$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}$をそれぞれ，$1:2\text{，}1:1\text{，}2:3$に内分する点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の重心を$\mathrm{G}$とし，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{G}$を通る直線と$▵\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ここで，$\mathrm{P}(3,3,4)\text{，}\mathrm{A}(1,3,2)\text{，}\mathrm{B}(5,1,1)\text{，}\mathrm{C}(6,5,0)$のとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$\overrightarrow{\mathrm{PG}}$の成分を答えなさい．

[問２]　点$\mathrm{H}$の座標を答えなさい．

[問３]　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$▵\mathrm{PGA}$の面積を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて答えなさい．