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2015 宮城大学 前期

事業構想(デザイン情報学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問1,問2に答えなさい.

問1 平面上で,互いに平行な 5 本の直線とこれらに直交する 6 本の直線について,互いに隣り合う平行線どうしの間の距離がすべて等しく,その距離を d d> 0 とするとき,これらの平行線を使ってできる長方形の個数を求めなさい.また,これら長方形のうち,正方形でない長方形の個数を求めなさい.

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事業構想(デザイン情報学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問1,問2に答えなさい.

問2  log10 2<0.31 が成り立つことを示しなさい.

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事業構想(デザイン情報学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】  a b c を実数とするとき,次の問1,問2に答えなさい.

問1  a+b+ c=1 a 2+b 2+c 2=a b+b c+c a が,ともに成り立つとき, a b c の値を求めなさい.

問2  a2 +b2 +c2 13 ( a+b+c )2 を証明しなさい.

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事業構想(デザイン情報学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 ともに目盛りのない 3 l の容器 A 5 l の容器 B を一つずつ用いるとき,次の問1,問2に答えなさい.

問1  4l の水を量る手順を,次の例にならって説明しなさい.

〔例〕  A 3 l B 0 l の水が入っている状態を AB (3 ,0) で表す.また,はじめに A 3 l の水を容れ,次に, B 5 l の水を入れていくとき,

AB( 0,0 ) AB( 3,0) AB (3, 5)

のように表すものとする.

問2  nl 以上の水が量れることを,数学的帰納法を用いて証明しなさい.ただし, n 9 以上の自然数とする.

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易□ 並□ 難□

【4】  3 つの放物線 y =x2 +1 y= x2 y=- x2 を,それぞれ C1 C 2 C3 とするとき,次の問1,問2に答えなさい.

問1  C1 上の点 ( a,a2 +1 ) における接線を l とするとき, l の方程式を求めなさい.また, C2 l とで囲まれる図形の面積は常に一定となることを示しなさい.

問2  C3 を平行移動した放物線と C 2 とで囲まれる図形の面積が常に 83 となるようにしたい.このとき, C3 を平行移動した放物線の頂点の軌跡を求めなさい.また,その軌跡のグラフをかきなさい.

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事業構想(デザイン情報学科)学部

易□ 並□ 難□

【5】 平面上の ABC と点 P について, PA +2 PB +3 PC =t AB を満たすとき,次の問1,問2に答えなさい.ここで, t は実数とする.

問1  t=0 とするとき, ABC に対して,点 P はどのような位置にあるか.また,面積比 PBC:PCA :PAB を求めなさい.

問2  t が実数全体を変化するとき,点 P はどのような図形を表すかを式で求めなさい.さらに,点 P ABC の内部にあるための t の範囲を求めなさい.

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