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2015-11081-0101
2015 宮城大学 前期
事業構想(デザイン情報学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問1,問2に答えなさい.
問1 平面上で,互いに平行な 5 本の直線とこれらに直交する 6 本の直線について,互いに隣り合う平行線どうしの間の距離がすべて等しく,その距離を d ( d> 0 ) とするとき,これらの平行線を使ってできる長方形の個数を求めなさい.また,これら長方形のうち,正方形でない長方形の個数を求めなさい.
2015-11081-0102
問2 log10 ⁡2<0.31 が成り立つことを示しなさい.
2015-11081-0103
【2】 a ,b , c を実数とするとき,次の問1,問2に答えなさい.
問1 a+b+ c=1 ,a 2+b 2+c 2=a⁢ b+b⁢ c+c⁢ a が,ともに成り立つとき, a ,b , c の値を求めなさい.
問2 a2 +b2 +c2 ≧ 13⁢ ( a+b+c )2 を証明しなさい.
2015-11081-0104
【3】 ともに目盛りのない 3 ⁢l の容器 A と 5 ⁢l の容器 B を一つずつ用いるとき,次の問1,問2に答えなさい.
問1 4⁢l の水を量る手順を,次の例にならって説明しなさい.
〔例〕 A に 3 ⁢l ,B に 0 ⁢l の水が入っている状態を AB ⁡(3 ,0) で表す.また,はじめに A に 3 ⁢l の水を容れ,次に, B に 5 ⁢l の水を入れていくとき,
AB⁡( 0,0 )→ AB⁡( 3,0) →AB⁡ (3, 5)
のように表すものとする.
問2 n⁢l 以上の水が量れることを,数学的帰納法を用いて証明しなさい.ただし, n は 9 以上の自然数とする.
2015-11081-0105
【4】 3 つの放物線 y =x2 +1 ,y= x2 , y=- x2 を,それぞれ C1 ,C 2 ,C3 とするとき,次の問1,問2に答えなさい.
問1 C1 上の点 ( a,a2 +1 ) における接線を l とするとき, l の方程式を求めなさい.また, C2 と l とで囲まれる図形の面積は常に一定となることを示しなさい.
問2 C3 を平行移動した放物線と C 2 とで囲まれる図形の面積が常に 83 となるようにしたい.このとき, C3 を平行移動した放物線の頂点の軌跡を求めなさい.また,その軌跡のグラフをかきなさい.
2015-11081-0106
【5】 平面上の ▵ ABC と点 P について, PA →+2 ⁢PB→ +3⁢ PC→ =t⁢ AB→ を満たすとき,次の問1,問2に答えなさい.ここで, t は実数とする.
問1 t=0 とするとき, ▵ABC に対して,点 P はどのような位置にあるか.また,面積比 ▵ PBC:▵PCA :▵PAB を求めなさい.
問2 t が実数全体を変化するとき,点 P はどのような図形を表すかを式で求めなさい.さらに,点 P が ▵ ABC の内部にあるための t の範囲を求めなさい.