2015　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１，問２に答えなさい．

問１　$50$人にアンケートをとったところ，犬を飼っている人が$35$人，猫を飼っている人が$28$人いた．犬と猫を両方とも飼っている人は何人から何人までいるか求めなさい．また，その理由も書きなさい．

【１】　次の問１，問２に答えなさい．

問２　赤玉$10$個，白玉$30$個を，異なる$4$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$に，赤玉の個数がすべて異なるように$10$個ずつ入れるとき，玉の分け方は何通りあるか求めなさい．また，その理由も書きなさい．ただし，白玉だけが入った箱があってもかまわず，同じ色の玉は区別しないものとする．

【２】　座標平面上の点のうち，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点という．このとき，次の問１，問２に答えなさい．

問１　$4$個の格子点の選び方によっては，その中からどんな$2$個の点を選んでも，その$2$個の点の中心は格子点にはならない例を挙げなさい．また，その理由も書きなさい．

問２　任意の$5$個の格子点から，ある$2$個の点を選ぶとき，その選び方によっては，この$2$個の点のの中点は必ず格子点となることを示しなさい．

【３】　$2$つの点を$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(4,0)$とする．また，$x$軸上の点を$\mathrm{P}(a,0)\text{，}$放物線$y={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2$上の点を$\mathrm{Q}(a,{\displaystyle \frac{1}{5}}{a}^2)$とする．線分$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PQ}$の長さを，それぞれ$\overline{\mathrm{PA}}\text{，}\overline{\mathrm{PB}}\text{，}\overline{\mathrm{PQ}}$と表すとき，$l=\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}-\overline{\mathrm{PQ}}$について，次の問１〜問３に答えなさい．

問１　$a\leqq -2$のとき，$l$の最大値を求めなさい．

問２　$4\leqq a$のとき，$l$の最大値を求めなさい．

問３　$l>0$となる$a$の範囲を求めなさい．

【４】　空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,1)\text{，}\mathrm{D}(0,-1,2)$と点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．次の問１，問２に答えなさい．

問１　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるための条件を，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$との関係式で表しなさい．

問２　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$が動いてできる平面の方程式を求めなさい．

【５】　次の問１，問２に答えなさい．ただし，$n$は$1$以上の自然数とする．

問１　正の偶数を小さい数から順に並べた数列について，そのなかの連続する$(2n+1)$個の項のうちの$1$番目から$(n+1)$番目までの項の和と，残りの$n$個の項の和が等しいとする．このとき，これら$(2n+1)$個の項のうちの$(n+1)$番目の項を$n$で表しなさい．

問２　正の奇数を小さい数から順に並べた数列について，そのなかの連続する$(2n+1)$個の項のうちの$1$番目から$(n+1)$番目までの項の和と，残りの$n$個の項の和が等しくはならないことを示しなさい．