2015　会津大学　前期MathJax

【１】　(1)，(2)，(5)の問いに答えよ．また，(3)，(4)の空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^1}\log (2x+1)dx=\boxed{\text{イ}}$

【１】　(1)，(2)，(5)の問いに答えよ．また，(3)，(4)の空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{3}xdx=\boxed{\text{ロ}}$

【１】　(1)，(2)，(5)の問いに答えよ．また，(3)，(4)の空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sin 2x|dx=\boxed{\text{ハ}}$

【１】　(1)，(2)，(5)の問いに答えよ．また，(3)，(4)の空欄をうめよ．

(2)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}})=\boxed{\text{ニ}}$

【１】　(1)，(2)，(5)の問いに答えよ．また，(3)，(4)の空欄をうめよ．

(3)　方程式${\log }_2(x-10)=3+{\log }_2{\displaystyle \frac{3}{x}}$の解は$x=\boxed{\text{ホ}}$である．

【１】　(1)，(2)，(5)の問いに答えよ．また，(3)，(4)の空欄をうめよ．

(4)　$0\leqq x<2\pi$において$-\sin x+\sqrt{3}\cos x$は$x=\boxed{\text{ヘ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{ト}}$をとる．

【１】　(1)，(2)，(5)の問いに答えよ．また，(3)，(4)の空欄をうめよ．

(5)　以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(ⅰ)　$n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$\boxed{\text{チ}}\text{．}$

(ⅱ)　$n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$\boxed{\text{リ}}\text{．}$

【２】　数列$\{a_n\}$およびその階差数列$\{b_n\}$を次のように定める．

$a_1=1$

$a_{n+1}=2a_n+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$b_1=\boxed{\text{イ}}$であり，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表すと，$b_{n+1}=\boxed{\text{ロ}}$である．

(2)　$b_n$を$n$の式で表すと，$b_n=\boxed{\text{ハ}}$である．

(3)　$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=\boxed{\text{ニ}}$である．

【３】　座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,2,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,1,-1)$を頂点とする四面体がある．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，

$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t)\text{，}0\leqq t\leqq 1$

をみたすとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{イ}}$

である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=\boxed{\text{ロ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{ハ}}$をとる．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=\boxed{\text{ニ}}$である．

【４】　$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　白玉$4$個，赤玉$3$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率を求めよ．$\boxed{\text{イ}}$

(2)　白玉$4$個，赤玉$n$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率$p_n$を求めよ．$\boxed{\text{ロ}}$

(3)　$p_n>p_{n+1}$をみたす$n$の範囲を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

(4)　$p_n$が最大となる$n$をすべて求めよ．$\boxed{\text{ニ}}$

【５】　関数$y=x{e}^{-x}$のグラフを$C$とするとき，以下の問いに答えよ．（結論に至る過程も記述すること．）

(1)　関数$y=x{e}^{-x}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてもよい．

(2)　$C$の変曲点における接線を$l$とする．$l$と$x$軸の交点を求めよ．

(3)　$C$と$l$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【６】　$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式を示せ．

${}_{n+2}C_3+{}_{n+2}C_2={}_{n+3}C_3$

(2)　(1)の結果を利用して，数学的帰納法により，次の等式を証明せよ．

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{}_{i+1}C_3={}_{n+2}C_3$