2015　福島県立医科大学　前期

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　ひし形$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2$で，$\angle \mathrm{ABC}=60\mathrm{°}$である．$▵\mathrm{ABC}$の外接円を$C_1\text{，}▵\mathrm{BCD}$の外接円を$C_2$とするとき，$C_1$の内部でありかつ$C_2$の内部である領域の面積を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　実数を係数とする$3$次方程式$x^3-2(\alpha +\beta )x^2+({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)x-8\sqrt{3}=0$の$3$つの解が$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$であるという．このような複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　曲線$y=(x^2-4)\log x\text{（}x>0\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(4)　$a$を定数とする．$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$2$つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{a}{2}}{\sin }^{2}x-\sin x+\cos x\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=g(x)(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の増減を調べ，グラフをかけ．

(ⅱ)　$y=f(x)(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が$2$つの極値をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　定数$a$の値が(ⅱ)で求めた範囲にあるとき，$y=f(x)(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の$2$つの極値の和を$a$を用いて表せ．

【２】　右の図のような立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．また，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は四角形$\mathrm{DEFG}$を含む平面上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{BQ}$が垂直に交わるとき，$x\text{，}y$の満たす条件を求めよ．またこのとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$x\text{，}y\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が四角形$\mathrm{DEFG}$の内部または辺上にあり，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{BQ}$が垂直に交わるとき，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点は立方体の内部または面上にあることを示せ．

(3)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が四角形$\mathrm{DEFG}$の内部または辺上にあり，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{BQ}$が垂直に交わるような$x\text{，}y$について，点$(x,y)$の全体からなる領域を$xy$平面上に図示せよ．

【３】　条件$a_1={\displaystyle \frac{7}{4}}\text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{2-a_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる実数の列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　極限$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$が存在すると仮定したとき，$a$のとりうる値を求めよ．

(2)　自然数$n$と(1)で求めた$a$について，次の各不等式が成り立つことを証明せよ．

(ⅰ)　$a_{2n}<a<a_{2n-1}$

(ⅱ)　$a-a_{2n}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{2n-1}}}$

(ⅲ)　$a_{2n-1}-a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{2n-2}}}$