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2015-11261-0101
2015 首都大学東京 前期
人文・社会系,経営学系
易□ 並□ 難□
【1】 A ,B , C ,D , E の 5 人をいくつかの組に分ける.ただし,組同士は区別せず,どの組も 1 人以上を含んでいるとする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) A が 3 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい.
(2) A が 2 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい.
(3) 5 人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい.
2015-11261-0102
【2】 平行四辺形 ABCD において, AD=6 , ∠A =120⁢ ° , AD→ =a → ,AB →= b→ , AB=x とする.点 A から直線 CD に垂線 AP を引き,点 A を通り辺 AD に垂直な直線と対角線 BD の交点を Q とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 線分 AP の長さを求めなさい.
(2) AQ→ を a→ ,b → ,x の式で表しなさい.
(3) AP=AQ が成り立つときの辺 AB の長さを求めなさい.
(4) 線分 PQ と辺 AD が平行になるときの辺 AB の長さを求めなさい.
2015-11261-0103
【3】 関数 f ⁡(x ), g⁡ (x ) を
f⁡( x)= x3- 5⁢x 2 ,
g⁡( x)= 33⁢x +3 -3⁢x -5⁢ (3 2⁢x+ 3-2 ⁢x) +3⁢( 3x+ 3-x )
で定めるとき,以下の問いに答えなさい.
(1) f⁡( x) のすべての極値と極値を与える x の値を求めなさい.
(2) t=3x +3 -x とするとき, g⁡( x) を t の式で表しなさい.
(3) g⁡( x) の最小値と最小値を与える x の値を求めなさい.
2015-11261-0104
【4】 座標平面において曲線 y =k⁢( 1-x2 )- 1 ( k は正の定数)を C 1 とし,曲線 y =1- |x | を C 2 とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) C1 は k の値によらない定点を通る.この定点の座標を求めなさい.
(2) C1 と C 2 が共有点をもつような正の定数 k の値の範囲を求めなさい.
(3) 正の定数 k が(2)で求めた範囲にあるとき, C1 と C 2 の共有点の個数を求めなさい.
2015-11261-0105
経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部
【1】 点 O を中心とする半径 1 の円に内接している正六角形 ABCDEF がある. A , B , C , D , E , F , O の 7 点から異なる 3 点を同時に選ぶとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 選んだ 3 点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい.
(2) 選んだ 3 点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい.
(3) 選んだ 3 点と結ぶと面積が 33 より大きい三角形ができる確率を求めなさい.
2015-11261-0106
【2】 関数
f⁡( x)= 2⁢sin ⁡x-2 ⁢cos⁡ x-sin⁡ 2⁢x
に対して,以下の問いに答えなさい.
(1) t=cos⁡ (x+ π 4 ) とおくとき, f⁡( x) を t の式で表しなさい.
(2) f⁡( x) の最大値と最小値を求めなさい.
(3) 方程式 f ⁡(x )=a が 0 ≦x<2 ⁢π の範囲で相異なる 2 つの解をもつための実数 a の条件を求めなさい.
2015-11261-0107
【3】 座標平面において曲線 y =3 x2+ 3 を C1 , 曲線 y =x2 +k ( k は定数)を C 2 とする. C1 と C 2 のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 定数 k の値を求めなさい.また, C1 と C 2 のすべての共有点の座標を求めなさい.
(2) C1 と C 2 で囲まれる部分の面積 S を求めなさい.
2015-11261-0108
都市教養(数理科学)学部
【1】 以下の問いに答えなさい.
(1) 次の不定積分を求めなさい.
∫ e-2 ⁢x⁢ cos⁡2⁢ x⁢dx
(2) n を正の整数とする.曲線
y=e -x ⁢sin⁡ x (( n-1) ⁢π≦x ≦n⁢π )
と x 軸で囲まれる部分を x 軸の回りに 1 回転させてできる立体の体積 V n を求めなさい.
(3) (2)で求めた V n に対して, ∑n= 1∞ V2 ⁢n-1 =V 1+V 3+V 5+⋯ を求めなさい.
2015-11261-0109
【2】 座標空間に 3 点 O ( 0,0, 0) ,A ( 0,2, 2) ,B (3 ,-1, 2) がある.三角形 OAB の周上または内部の点 P は AP =2 ,OP →⊥ AP→ を満たしているとする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 点 P の座標を求めなさい.
(2) 三角形 OBP の面積を求めなさい.
(3) 点 Q が点 A を中心とする半径 2 の球面上を動くとき,点 B から直線 OQ に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい.
2015-11261-0110
【3】 座標平面において楕円 x 216 + y29 =1 を C とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) C に接する傾き m の直線の方程式をすべて求めなさい.
(2) すべての辺が C に接する長方形の 1 辺の傾きが m であるとする.この長方形の面積 S ⁡(m ) を求めなさい.
(3) m がすべての実数を動くとき,(2)で求めた S ⁡( m) の最大値を求めなさい.