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2015 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【1】  A B C D E 5 人をいくつかの組に分ける.ただし,組同士は区別せず,どの組も 1 人以上を含んでいるとする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  A 3 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい.

(2)  A 2 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい.

(3)  5 人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【2】 平行四辺形 ABCD において, AD=6 A =120 ° AD =a AB = b AB=x とする.点 A から直線 CD に垂線 AP を引き,点 A を通り辺 AD に垂直な直線と対角線 BD の交点を Q とする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 線分 AP の長さを求めなさい.

(2)  AQ a b x の式で表しなさい.

(3)  AP=AQ が成り立つときの辺 AB の長さを求めなさい.

(4) 線分 PQ と辺 AD が平行になるときの辺 AB の長さを求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x ) g (x )

f( x)= x3- 5x 2

g( x)= 33x +3 -3x -5 (3 2x+ 3-2 x) +3( 3x+ 3-x )

で定めるとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  f( x) のすべての極値と極値を与える x の値を求めなさい.

(2)  t=3x +3 -x とするとき, g( x) t の式で表しなさい.

(3)  g( x) の最小値と最小値を与える x の値を求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

人文・社会系,経営学系

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【4】 座標平面において曲線 y =k( 1-x2 )- 1 k は正の定数)を C 1 とし,曲線 y =1- |x | C 2 とする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  C1 k の値によらない定点を通る.この定点の座標を求めなさい.

(2)  C1 C 2 が共有点をもつような正の定数 k の値の範囲を求めなさい.

(3) 正の定数 k が(2)で求めた範囲にあるとき, C1 C 2 の共有点の個数を求めなさい.

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経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

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【1】 点 O を中心とする半径 1 の円に内接している正六角形 ABCDEF がある. A B C D E F O 7 点から異なる 3 点を同時に選ぶとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 選んだ 3 点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい.

(2) 選んだ 3 点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい.

(3) 選んだ 3 点と結ぶと面積が 33 より大きい三角形ができる確率を求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【2】 関数

f( x)= 2sin x-2 cos x-sin 2x

に対して,以下の問いに答えなさい.

(1)  t=cos (x+ π 4 ) とおくとき, f( x) t の式で表しなさい.

(2)  f( x) の最大値と最小値を求めなさい.

(3) 方程式 f (x )=a 0 x<2 π の範囲で相異なる 2 つの解をもつための実数 a の条件を求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面において曲線 y =3 x2+ 3 C1 曲線 y =x2 +k k は定数)を C 2 とする. C1 C 2 のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 定数 k の値を求めなさい.また, C1 C 2 のすべての共有点の座標を求めなさい.

(2)  C1 C 2 で囲まれる部分の面積 S を求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(1) 次の不定積分を求めなさい.

e-2 x cos2 xdx

(2)  n を正の整数とする.曲線

y=e -x sin x ( n-1) πx nπ

x 軸で囲まれる部分を x 軸の回りに 1 回転させてできる立体の体積 V n を求めなさい.

(3) (2)で求めた V n に対して, n= 1 V2 n-1 =V 1+V 3+V 5+ を求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

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【2】 座標空間に 3 O ( 0,0, 0) A ( 0,2, 2) B (3 ,-1, 2) がある.三角形 OAB の周上または内部の点 P AP =2 OP AP を満たしているとする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 点 P の座標を求めなさい.

(2) 三角形 OBP の面積を求めなさい.

(3) 点 Q が点 A を中心とする半径 2 の球面上を動くとき,点 B から直線 OQ に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい.

2015 首都大学東京 前期

都市教養(数理科学)学部

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面において楕円 x 216 + y29 =1 C とする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  C に接する傾き m の直線の方程式をすべて求めなさい.

(2) すべての辺が C に接する長方形の 1 辺の傾きが m であるとする.この長方形の面積 S (m ) を求めなさい.

(3)  m がすべての実数を動くとき,(2)で求めた S ( m) の最大値を求めなさい.

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