2015　首都大学東京　後期MathJax

【１】　実数$t$に対して，$f(x)=\sin x-t\sin 2x$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における方程式$f(x)=0$の解の個数を求めなさい．

(2)　次の定積分の値を求めなさい．

$S(t)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|f(x)|dx$

(3)　$t$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S(t)$の最小値と最小値を与える$t$の値を求めなさい．

【２】　実数$a$に対して，$f(x)=x^4+a{x}^3+(a^2-2)x^2+ax+1$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$x\ne 0$に対して，$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とするとき，${\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}}$を$a$と$t$の式で表しなさい．

(2)　$x$が$0$でない実数全体を動くとき，$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(3)　方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つ実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．

【３】　正の整数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{n^2}}|x-{\displaystyle \frac{k}{n}}|$

で定め，$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$f_n(0)$の値を求めなさい．

(2)　$f(x)$を求めなさい．

(3)　$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最小値と最小値を与える$x$の値を求めなさい．

【４】　座標平面に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の$3$つの頂点のうちから$1$つを選んで対辺の中点と結び，三角形を$2$つに分割する．分割された$2$つの三角形のうち，点$\mathrm{O}$と$x$軸を含む方を選んで三角形${\mathrm{OA}}_1{\mathrm{B}}_1$をつくる．ただし，点${\mathrm{A}}_1$は$x$軸上にあるとする．たとえば，頂点として点$\mathrm{O}$を選んだ場合は，対辺$\mathrm{AB}$の中点を${\mathrm{B}}_1$として線分${\mathrm{OB}}_1$を引き，${\mathrm{A}}_1=\mathrm{A}$として三角形${\mathrm{OA}}_1{\mathrm{B}}_1$をつくる．できた三角形に対して同様の操作を繰り返す．$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して，三角形${\mathrm{OA}}_{n-1}{\mathrm{B}}_{n-1}$をいずれかの頂点を通る中線で分割して，三角形${\mathrm{OA}}_n{\mathrm{B}}_n$をつくる．ただし，点${\mathrm{A}}_n$は$x$軸上にあるとする．各操作において，三角形のどの頂点を選ぶかは同様に確からしいとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$n=2\text{，}3$に対して，三角形${\mathrm{OA}}_n{\mathrm{B}}_n$が$\angle \mathrm{O}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角二等辺三角形である確率を求めなさい．

(2)　正の整数$n$に対して，三角形${\mathrm{OA}}_n{\mathrm{B}}_n$が$\angle \mathrm{O}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角二等辺三角形である確率を求めなさい．

(3)　三角形${\mathrm{OA}}_4{\mathrm{B}}_4$が直角二等辺三角形である確率を求めなさい．