2015　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　数直線上の原点$\mathrm{O}$を出発点とする．硬貨を投げるたびに，表が出たら$2\text{，}$裏が出たら$1$だけ正の方向へ進むものとする．点$n$に到達する確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ア)　$3$以上の$n$について，$p_n\text{，}{p}_{n-1}\text{，}{p}_{n-2}$の関係式を求めよ$\boxed{\text{(1-ⅰ)}}$．

(イ)　$3$以上の$n$について，$p_n$を求めよ$\boxed{\text{(1-ⅱ)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　$x^3-3axy+y^3=0\text{（}a>0\text{）}$で定義される曲線はデカルトの葉（または，葉線）と呼ばれている．

これによって囲まれる第$1$象限の面積$S$を求めたい．極座標$x=r\cos \theta \text{，}y=r\sin \theta$を用いると，曲線は

$r(\theta )={\displaystyle \frac{3a\cos \theta \sin \theta }{{\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta }}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

となる．これより面積は

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{r(\theta )}^{2}d\theta }$

と表せる．$t=\tan \theta$とおいて$S$を求めよ$\boxed{\text{(2)}}$．ただし，

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}f(t)dt=\underset{R\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^R}f(t)dt$

と解釈する．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　$1$辺の長さが$a\text{（}>0\text{）}$の正$4$面体を考え，その頂点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．

また，辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$を求めよ$\boxed{\text{(3)}}$．

【１】　　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　数列の和

${\displaystyle \sum _{j=1}^n}{j}^2{2}^{n-j}$

を求めよ$\boxed{\text{(4)}}$．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　平面上に相異なる$3$点がある．この$3$点が同一直線上にないとき，この$3$点を通る円は必ず存在し，かつ，一つだけしかないことを証明せよ．

(2)　平面上に相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$間の距離は，外の$2$点間の距離より短いとする．このとき，線分$\mathrm{AB}$を直径とする円は，内部に点$\mathrm{C}$を含まないことを証明せよ．

(3)　平面上に相異なる$4$点がある．この$4$点が同一円周上になく，かつどの$3$点も同一直線上にないとする．このとき，うまく$3$点を選ぶと，その$3$点を通る円は，残りの点を内部に含まないようにできることを証明せよ．

【３】　等式

$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=1\cdots$(＊)

が知られている．左辺を見て，右辺を想像することは一見難しい．これを証明するために，以下の問いに答えよ．

(1)　(＊)の左辺を変形し，近似式

${(1+x)}^a\fallingdotseq 1+ax+{\displaystyle \frac{a(a-1)}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{a(a-1)(a-2)}{6}}{x}^3\text{（}\left|x\right|<1\text{）}$

を用いて（$a$は実数），その近似値を求めよ．ただし，簡単にするため$5^{-\frac{1}{3}}\fallingdotseq 0.6$とする．

(2)　$3$次方程式

$x^3+3x-4=0$

を解いて，上の等式(＊)を証明せよ．

【４】　自然数$N$に対して，自然数からなる$2$つの数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_N$と$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_{N+1}$があり，条件

$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$に対して$b_i<a_i$かつ$b_{i+1}<a_i$

をみたすと仮定する．そして

$F={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^N}{a}_i-N}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{N+1}}{b}_i}}$

とおく．$N$は固定して，以下の問いに答えよ．

(1)　自然数からなる数列$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$の最小値を$x$とする．このとき

$x={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i$と$x_1=x_2=\cdots =x_n=x$

は同値であることを証明せよ．

(2)　$F$のとりえる最小値を求めよ．

(3)　$F$が最小値をとるための，数列に関する条件を求めよ．