2015　富山県立大学　前期工学部MathJax

【１】　$a>0$とし，$2$次関数$f(x)=x^2-2ax+2a\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$の最小値を$m(a)$とする．このとき，$m(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OBA}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{OR}$の延長が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{OQ}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{T}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$は一直線上にあることを示せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　等式$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$が成り立つことを示せ．

(2)　方程式$8x^3-6x+1=0$が$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{18}}$を解にもつことを示せ．

(3)　方程式$8x^3-6x+1=0$のすべての解が実数であることを示せ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$は定数で，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，定積分${\displaystyle {\int }_{\tan \alpha }^{\tan \beta }}f(x)dx$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin t}{3+4{\cos }^{2}t}}dt$を求めよ．