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2015-11481-0101
2015 愛知県立大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 関数 y =2⁢ (8 x+8 1-x )- 9⁢( 4x+ 41- x) +24⁢ (2 x+2 1-x )- 12 について,以下の問いに答えよ.
(1) 関数 t =2x +21 -x とするとき, y を t で表せ.
(2) (1)で定義した t の最小値とそのときの x の値を求めよ.
(3) y の最小値とそのときの x の値を求めよ.
2015-11481-0102
【2】 ▵ABC の頂点を移動する点 P があり,初め頂点 A にいる.その後, 1 秒毎に,以下の規則に従ってその位置を変化させる.
(a) 頂点 A にいるときは,確率 12 で頂点 B に移るか,確率 12 で頂点 C に移る.
(b) 頂点 B にいるときは,確率 12 で頂点 A に移るか,確率 14 で頂点 B にとどまるか,確率 14 で頂点 C に移る.
(c) 頂点 C にいるときは,確率 12 で頂点 A に移るか,確率 14 で頂点 B に移るか,確率 14 で頂点 C にとどまる.
初め頂点 A にいた点 P が n 病後に頂点 A , 頂点 B にいる確率をそれぞれ pn ,q n とする.以下の問いに答えよ.
(1) p1 , q1 , p2 ,q 2 を求めよ.
(2) pn +1 , qn +1 をそれぞれ p n の式で表せ.
(3) pn , qn をそれぞれ n の式で表せ.
(4) liimn →∞ pn , lim n→∞ qn をそれぞれ求めよ.
2015-11481-0103
【3】 座標空間において, 3 点 O ( 0,0, 0) ,A ( 1,1, 0) ,B ( 2,1, 1) の定める平面を α とし, 3 点 ( 0,0, 0) ,( 0,1, 1) ,( 1,0, 1) の定める平面を β とする.また,平面 α と平面 β が交わってできる直線を l とし,平面 α 上の点 P の座標を ( 2,-1 ,3 ) とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) OP→ を OA→ , OB→ を用いて表せ.
(2) 直線 l 上の点を OA→ , OB→ と実数 k を用いて表せ.
(3) 点 P から直線 l に垂線を下ろす.このとき,直線 l と垂線との交点の座標を求めよ.
2015-11481-0104
【4】 a>1 , b> 0 ,c >0 ,f ⁡(t )= a-b⁢ t とする.点 P の座標 ( x,y ) が,時刻 t の関数として x =f⁡( t)⁢ cos⁡t ,y =f⁡( t)⁢ sin⁡t のように表されるとき,以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( t) を t について微分せよ.
(2) t=0 から t =c までの間に点 P が動く道のり l を a , b ,c で表せ.
(3) (2)の l について, L=lim c→ ∞l を a , b で表せ.
(4) t=0 から t =d までの間に点 P が動く道のりが,(3)で求めた L の 12 であるとする. a=2 , b=5 であるとき d を求めよ.