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2015 愛知県立大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 関数 y =2 (8 x+8 1-x )- 9( 4x+ 41- x) +24 (2 x+2 1-x )- 12 について,以下の問いに答えよ.

(1) 関数 t =2x +21 -x とするとき, y t で表せ.

(2) (1)で定義した t の最小値とそのときの x の値を求めよ.

(3)  y の最小値とそのときの x の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  ABC の頂点を移動する点 P があり,初め頂点 A にいる.その後, 1 秒毎に,以下の規則に従ってその位置を変化させる.

(a) 頂点 A にいるときは,確率 12 で頂点 B に移るか,確率 12 で頂点 C に移る.

(b) 頂点 B にいるときは,確率 12 で頂点 A に移るか,確率 14 で頂点 B にとどまるか,確率 14 で頂点 C に移る.

(c) 頂点 C にいるときは,確率 12 で頂点 A に移るか,確率 14 で頂点 B に移るか,確率 14 で頂点 C にとどまる.

 初め頂点 A にいた点 P n 病後に頂点 A 頂点 B にいる確率をそれぞれ pn q n とする.以下の問いに答えよ.

(1)  p1 q1 p2 q 2 を求めよ.

(2)  pn +1 qn +1 をそれぞれ p n の式で表せ.

(3)  pn qn をそれぞれ n の式で表せ.

(4)  liimn pn lim n qn をそれぞれ求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 座標空間において, 3 O ( 0,0, 0) A ( 1,1, 0) B ( 2,1, 1) の定める平面を α とし, 3 ( 0,0, 0) ( 0,1, 1) ( 1,0, 1) の定める平面を β とする.また,平面 α と平面 β が交わってできる直線を l とし,平面 α 上の点 P の座標を ( 2,-1 ,3 ) とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  OP OA OB を用いて表せ.

(2) 直線 l 上の点を OA OB と実数 k を用いて表せ.

(3) 点 P から直線 l に垂線を下ろす.このとき,直線 l と垂線との交点の座標を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  a>1 b> 0 c >0 f (t )= a-b t とする.点 P の座標 ( x,y ) が,時刻 t の関数として x =f( t) cost y =f( t) sint のように表されるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  f( t) t について微分せよ.

(2)  t=0 から t =c までの間に点 P が動く道のり l a b c で表せ.

(3) (2)の l について, L=lim c l a b で表せ.

(4)  t=0 から t =d までの間に点 P が動く道のりが,(3)で求めた L 12 であるとする. a=2 b=5 であるとき d を求めよ.

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