2015　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{A}(-1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$および放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$を考える．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$l$とする．ただし，$m$は正である．次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$l$の交点の座標を$m$で表せ．

(2)　第$2$象限において$C\text{，}l$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S(m)$を求めよ．

(3)　$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．${\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}}=18$となる$m$に対し，${\displaystyle \frac{n}{10}}<m<{\displaystyle \frac{n+1}{10}}$を満たす自然数$m$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が${\displaystyle \frac{a_n-3a_{n+1}}{4(n+1)}}=a_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義されている．ただし，初項$a_1=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して$a_n\ne 0$を示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}+2n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　空間内の点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\theta$$(0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2$を含む平面$H$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす．ただし$c_1\text{，}$$c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}+c_2\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　角度$\theta$を求めよ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．

(3)　$c_1=c_2=c\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}_1}=c\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}_2}=c\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$となるように，空間上に点${\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_2$を与える．四面体${\mathrm{D}}_1{\mathrm{D}}_2\mathrm{CB}$の体積を$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(4)　(3)の条件の下で$3$点${\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_2\text{，}$$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b\text{，}$$c$で表しなさい．

【４】　図１，２のような網目状の道があり，頂点$\mathrm{O}$を出発点とし，各頂点においてそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で上に，または右斜め下に進む．ただし，右斜め下に道がない場合は必ず上に，上に道がない場合は必ず右斜め下に進み，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかに到達したら停止する．次の問いに答えよ．

(1)　図１において，各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}}\text{，}{P}_{\mathrm{B}}\text{，}{P}_{\mathrm{C}}$を求めよ．

(2)　図２において，${\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．

(3)　図２において，${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．

図１	図２

【２】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{\pi }^{x+\frac{\pi }{2}}}|2{\cos }^{2}t+2\sin t\cos t-1|dt$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$の値を求めよ．

(2)　積分を計算して，$f(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

【４】　図１，２のような網目状の道があり，頂点$\mathrm{O}$を出発点とし，各頂点においてそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で上に，または右斜め下に進む．ただし，右斜め下に道がない場合は必ず上に，上に道がない場合は必ず右斜め下に進み，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかに到達したら停止する．次の問いに答えよ．

(1)　図１において，各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}}\text{，}{P}_{\mathrm{B}}\text{，}{P}_{\mathrm{C}}$を求めよ．

(2)　図２において，${\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．

(3)　図２において，$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．

図１	図２

【１】(1)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{q}={\displaystyle \frac{1}{5}}(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$とする．$\left|\overrightarrow{p}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{q}\right|=2$であるとき，次の問いに答えよ．

(a)　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

(b)　$\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|=3\left|\overrightarrow{b}\right|$のとき，内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

【１】(2)　関数$f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-{\displaystyle \frac{7}{4}}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0\leqq x\leqq 2\pi$とする．

(a)　$t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(b)　$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．