2015　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　$10$以下の互いに異なる素数$k\text{，}l\text{，}m\text{，}n$と，$10$以上の互いに異なる素数$p\text{，}q$に対して，$k+p+q=l^2$が成立する．自然数$a\text{，}b\text{，}c$は以下を満たす．

$\{\begin{array}{l}a=kpq\\ b=k^2{m}^2\\ c=kl{n}^6\\ a+b-c=0\end{array}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a$が奇数であることを示せ．

(2)　$b$が奇数であることを示せ．

(3)　$a\text{，}b$を求めよ．

【２】　正の実数$a$に対して，曲線$C\text{：}y=|x^2+ax|$と直線$l\text{：}y=-{\displaystyle \frac{a}{2}}x$が原点$\mathrm{O}$以外の$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)$で交わっている．ただし条件$x_1\leqq -1\leqq x_2$を満たすとする．曲線$C$と直線$l$で囲まれた領域のうち$-1\leqq x\leqq 0$にある部分の面積を$S$とするとき次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$a$で表し，条件を満たす$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a\leqq 1$のとき$S$を$a$で表せ．

(3)　(2)の条件のもとで$S$の最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　正の定数$r$に対して$xyz$空間内の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球面上の点を$\mathrm{P}(s,t,u)$とする．ただし，$s\text{，}t\text{，}u$は正とする．直線$\mathrm{OP}$に垂直でこの球面に接する平面が$x$軸，$y$軸，$z$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)$とし，球面と$x$軸，$y$軸，$z$軸が交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}(r,0,0)\text{，}\mathrm{E}(0,r,0)\text{，}\mathrm{F}(0,0,r)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S_1$を$r\text{，}s\text{，}t\text{，}u$を用いて表せ．

(2)　$3$つの正の実数$l\text{，}m\text{，}n$に対し不等式$l^3+m^3+n^3\geqq 3lmn$を証明せよ．また，等号が成立するのは$l=m=n$のときに限ることを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が与えられた球面を動くとき，$S_1$の最小値を$r$で表せ．ただし，(2)の不等式を用いてよい．

(4)　三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．(3)で求めた$S_1$の最小値と$S_2$の比を求めよ．

【４】　$n$枚のトランプカードがあり，そのうち$k$枚は絵札，残りの$n-k$枚は数字のカードである．これら$n$枚のカードを裏向きに並べ，次の操作１，操作２を順に行った後に，$k$枚の絵札すべてが表を向いていれば「勝ち」とする．

操作１：$n$枚のそれぞれのカードすべてについて$1$個のサイコロを$1$回ずつ振り，偶数の目が出たらそのカードを表に向ける．

操作２：表を向いていないカードがあれば，その中から無作為に$1$枚を選び，表に向ける．ただし，操作１の終了後カードがすべて表を向いていれば，なにも行わない．

次の問いに答えよ．

(1)　$n=2\text{，}k=1$のとき，「勝ち」となる確率を求めよ．

(2)　$n=5\text{，}k=1$のとき，「勝ち」となる確率を求めよ．

(3)　$n=5\text{，}k=2$のとき，「勝ち」となる確率を求めよ．