2015　名古屋市立大　中期MathJax

【１】　連立不等式

$\{\begin{array}{c}y\leqq 1-x^2\\ {(x-1)}^2+{(y-1)}^2\leqq 1\end{array}$

の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$0\leqq a\leqq 2$を満たす定数$a$に対して$ax+y$の最大値を$\mathrm{M}\text{，}$最小値を$m$とする．次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　$M$および$m$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

【２】　右図に示す$8$つの領域にわかれた円を塗り分ける．そのさい各領域には$1$つの色を塗るものとし，境界を共有する隣り合った領域には互いに異なる色を塗る．ただし，円を$120\mathrm{°}$の倍数の角度で回転させて一致する塗り方はすべて同じとみなす．次の問いに答えよ．

(1)　異なる$8$色を用いた塗り方は何通りあるか．

(2)　異なる$7$色を用いた塗り方は何通りあるか．

(3)　異なる$6$色を用いた塗り方は何通りあるか．

【３】　自然数$n$に対して，$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を

$R_n(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^p}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{(-x^p)}^k$

とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．

(1)　次の不等式を示せ．

$|{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x)dx|<{\displaystyle \frac{1}{pn+1}}$

(2)　次の等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^p}}={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{pk+1}}$

(3)　以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．

(a)　$S_1=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-\cdots$

(b)　$S_2=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}-\cdots$