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2015 滋賀県立大学 前期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 C y= xn n 2 以上の偶数)上に点 A ( -a,a n) a>0 と点 B ( b,bn ) b>0 がある.原点を O とし, OAB の面積を S 1 とする.また,線分 AB C で囲まれた部分の面積を S 2 とする.

(1)  S1 を求めよ(答えのみでよい).

(2)  S2 を求めよ.

(3)  S2 2n n+1 S 1 が成り立つことを示せ.

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工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 C がある. C の外部の点 A ( a,b ) a2+ b2> 1 から C に接線を 1 本引き,その接点を P とし,半直線 OA 上に OA OQ= OP2 となる点 Q をとる.

(1)  OAPQ となることを示せ.

(2)  Q の座標を a b を用いて表せ.

(3)  A b =2 -2 a 2 の範囲を動くとき, Q の軌跡を求めて図示せよ.

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工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an } とその階差数列 { bn } に対して,

a1 =1 ann =( 3n- 2) bn- 1 n= 2 3

が成り立っているとする.

(1)  {a n} の一般項を求めよ.

(2) 極限 limn k =1n bk を求めよ.

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工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【4】(1) 双曲線 x 2a2 - y 2b2 =1 a b は正の実数)の x >0 の部分を H とする.このとき,点 ( -a,0 ) を通る傾き t の直線と H との交点を考えることにより, H 上の点 ( x,y ) x y をそれぞれ t の分数式で表せ.

(2) (1)のやり方を用いて, y= x2- 1 x>1 で表される曲線を媒介変数 t の分数式で表示せよ.

(3) (2)の結果を用いて不定積分 1 x2- 1 dx を求めよ.

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