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2015-11521-0101
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2015 滋賀県立大学 前期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】 曲線 C :y= xn ( n は 2 以上の偶数)上に点 A ( -a,a n) ( a>0 ) と点 B ( b,bn ) ( b>0 ) がある.原点を O とし, ▵OAB の面積を S 1 とする.また,線分 AB と C で囲まれた部分の面積を S 2 とする.
(1) S1 を求めよ(答えのみでよい).
(2) S2 を求めよ.
(3) S2 ≧ 2⁢n n+1 ⁢ S 1 が成り立つことを示せ.
2015-11521-0102
【2】 xy 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 C がある. C の外部の点 A ( a,b ) ( a2+ b2> 1 ) から C に接線を 1 本引き,その接点を P とし,半直線 OA 上に OA ⋅OQ= OP2 となる点 Q をとる.
(1) OA⊥PQ となることを示せ.
(2) Q の座標を a , b を用いて表せ.
(3) A が b =2 , -2 ≦a≦ 2 の範囲を動くとき, Q の軌跡を求めて図示せよ.
2015-11521-0103
【3】 数列 { an } とその階差数列 { bn } に対して,
a1 =1 , ann =( 3⁢n- 2)⁢ bn- 1 ( n= 2 ,3 , ⋯ )
が成り立っているとする.
(1) {a n} の一般項を求めよ.
(2) 極限 limn→ ∞ ∑k =1n bk を求めよ.
2015-11521-0104
【4】(1) 双曲線 x 2a2 - y 2b2 =1 ( a と b は正の実数)の x >0 の部分を H とする.このとき,点 ( -a,0 ) を通る傾き t の直線と H との交点を考えることにより, H 上の点 ( x,y ) の x と y をそれぞれ t の分数式で表せ.
(2) (1)のやり方を用いて, y= x2- 1 ( x>1 ) で表される曲線を媒介変数 t の分数式で表示せよ.
(3) (2)の結果を用いて不定積分 ∫ 1 x2- 1⁢ dx を求めよ.