2015　京都府立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$は$a^2=2b$を満たす自然数とする．このとき，$a$は偶数であることを，背理法を用いて証明せよ．

(2)　$c\text{，}$$d\text{，}$$e$は$c^2+d^2=3e$を満たす自然数とする．このとき，$c\text{，}$$d\text{，}$$e$はいずれも$3$の倍数であることを証明せよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$n^{19}-n$を$19$で割った余りは$0$であることを証明せよ．

【２】　$l\text{，}$$m$を$0$以上の整数とする．$n$を自然数とする．実数の数列$\{a_n\}$に対して$x$の$l$次多項式$P_m(x)$$\text{（}l\leqq m\text{）}$が$P_m(n)=a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$m+1\text{）}$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$m+1$のとき，$P_{m+1}(n)-P_m(n)$の値をすべて求めよ．

(2)　$P_{m+1}(0)-P_m(0)$$={(-1)}^{m+1}(a_{m+2}-P_m(m+2))$となることを示せ．

(3)　$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_3=3\text{，}$$a_4=5$のとき，$P_3(6)$の値を求めよ．

【３】　$0<t<1$とする．$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}⫽\overrightarrow{\mathrm{ED}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}⫽\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BD}}⫽\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BE}}⫽\overrightarrow{\mathrm{CD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CE}}⫽\overrightarrow{\mathrm{BA}}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{10}}={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$を証明なしで用いてよい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4}}$であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$\angle \mathrm{APQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる$t$の値を求めよ．

【４】　$a>0\text{，}$$b>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$xy$平面上に，曲線$C_1\text{：}y=\log x$$\text{（}x>0\text{），}$曲線$C_2\text{：}y=a{x}^2-b$$\text{（}x>0\text{）}$がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している．$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする．$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x(b)$を$b$を用いて表せ．

(2)　$S\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$の値を求めよ．

(3)　$\underset{b\to \infty }{\lim }S(b)=1$となることを示せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x\leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　方程式${\log }_{2}x+{\log }_{8}x$$=({\log }_{2}x)({\log }_{8}x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，不等式$2(\cos 4x-1)\cos x$$-3(\cos 3x+\cos x)>0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【２】　$r>0$とする．実数の数列$\{a_n\}$は

$a_1=0\text{，}$$a_2=1\text{，}$

${a_{n+2}}^2-2a_{n+2}{a}_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2$$+2r{a}_{n+1}{a}_n-r{a_n}^2=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．数列$\{b_n\}$を，

$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$b_n>0\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_n(n,a_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}$を$r$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}$の成分表示を$n\text{，}r$を用いて与えよ．

(4)　$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}$と$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{P}}_{n+2}}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とはならないことを示せ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3+2x^2+2x+1$と関数$g(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^4+{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3+2x^2+2x+1$がある．方程式$f(x)=0$の実数解を$\alpha$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$-1<\alpha <0$であることを示せ．

(2)　$g(x)$の最小値を$\alpha$を用いて多項式で表せ．

【４】　$k>0$とする．関数$f(x)=x^3-10x^2+kx$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$が$x$軸と接するとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．