2015　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(0,2)\text{，}\mathrm{Q}(1,0)$をとる．また，$t$を実数とし，放物線$y={(x-t)}^2$を$C$とする．次の問いに答えよ．

問１　$C$が$\mathrm{P}$を通るときの$t$の値を求めよ．

問２　$C$が直線$\mathrm{PQ}$に接するときの$t$の値と接点の座標を求めよ．

問３　線分$\mathrm{PQ}$と$C$の共有点の個数が$t$によりどのように変化するか記述せよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$▵\mathrm{ABC}$の重心を${\mathrm{O}}^{\prime }\text{，}$$▵\mathrm{OBC}$の重心を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$$▵\mathrm{OCA}$の重心を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}▵\mathrm{OAB}$の重心を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．次の問いに答えよ．

問１　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}$は平行であることを示せ．

問２　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$と$\left|\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}\right|$の比を求めよ．

問３　$▵\mathrm{OAB}$と$▵{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$は相似であることを示せ．

問４　$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,0,0)$と$\mathrm{Q}(0,2,0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,0,3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体${\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の体積$V^{\prime }$を求めよ．

【３】　$m>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=m\overrightarrow{\mathrm{RP}}$となるように定める．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{P}$の座標を$(a,b)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$m\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

問２　点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x$上を動くとき，対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)$を求めよ．

問３　問２の$f(x)$に対し，$I(m)={\displaystyle {\int }_0^m}f(x)dx$とする．$m$を$m>0$の範囲で変化させるとき，$I(m)$を最小にする$m$の値を求めよ．

【４】　$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回投げた時点で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$P_2$を求めよ．

問２　$P_3$を求めよ．

問３　$P_4$を求めよ．

問４　$P_5<{\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．

【１】　$a>0\text{，}b>0$とする．$xy$平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$L^2$を$a\text{，}b\text{，}p$を用いて表せ．

問２　$a\text{，}b$を定数とし，$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき，$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ．

問３　問２で求めた$p$の値を$p_0$とする．また，$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする．$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ．

【２】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を$f(x)=e^{-x}\sin x\text{，}g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．$f(x)\text{，}g(x)$の不定積分を$I={\displaystyle \int }f(x)dx\text{，}J={\displaystyle \int }g(x)dx$とおく．$k$を自然数とし，$(k-1)\pi \leqq x\leqq k\pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)\text{，}$および，$2$直線$x=(k-1)\pi \text{，}x=k\pi$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S_k$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$I=J+F(x)+C_1\text{，}J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)\text{，}G(x)$を求めよ．ただし，$C_1\text{，}{C}_2$は積分定数である．

問２　$I\text{，}J$を求めよ．

問３　$S_k$を求めよ．

問４　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{S}_k$を求めよ．

【３】　$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$P_2\text{，}{P}_3\text{，}{P}_4$を求めよ．

問２　$P_{n+1}$を$P_n$および$P_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n\geqq 3$とする．

問３　$n\geqq 2$のとき，${\displaystyle \frac{P_n}{2}}\leqq P_{n+1}\leqq P_n$が成り立つことを示せ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}(0,0,p)\text{（}0<p\leqq 1\text{）}$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．

問２　点$\mathrm{Q}(q,0,1)\text{（}0\leqq q\leqq 1\text{）}$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．

問３　原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u\text{（}0\leqq u\leqq \sqrt{3}\text{）}$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．

問４　$K$の体積を求めよ．