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2015 大阪市立大学 後期

理(数,物理),工学部

理学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【1】  a a > 13 を満たす実数とする. 2 曲線 C1 y=2 acos 2x C2 y= sin2 x の交点のうち, 0<x < π2 の範囲にあるものを P とする. 2 曲線 C1 C 2 の点 P における接線の傾きをそれぞれ tan θ1 tan θ2 と表す.ただし, - π2 <θ1 < π2 - π2< θ2 < π2 とする.点 P x 座標を b とし, S= 0b sin 2x dx とおく.次の問いに答えよ.

問1  tanb cosb sin b をそれぞれ a で表せ.

問2  tanθ 1 tan θ2 をそれぞれ a で表せ.

問3  tanθ 1tan θ2 -1 を示し, tan( θ2- θ1 ) a で表せ.

問4  S a で表せ.

問5 各 a に対して S tan (θ 2- θ1 ) の値を f (a ) と表すとき, a の関数 f (a ) a > 13 において単調に減少することを示せ.

2015 大阪市立大学 後期

理(数),工学部

理(数)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【2】  a b は実数で a >0 とする.円 x2+ y2= 1 と放物線 y =ax 2+b の共有点の個数を m とおく.次の問いに答えよ.

問1  m=2 となるための a b に関する必要十分条件を求めよ.

問2  m=3 となるための a b に関する必要十分条件を求めよ.

問3  m=4 となるための a b に関する必要十分条件を求めよ.

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理(数),工学部

理(数)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【3】  f( x) x 0 で定義された連続関数で, f( x) 0 をみたすとする.さらに,正の定数 a があり, x0 でつねに f (x +a) =f( x) が成り立つとする.次の問いに答えよ.

問1  r が正の整数ならば, (r -1) ar a f( x) dx= 0a f (x) dx となることを示せ.

問2  n を正の整数とし, k na< k+1 をみたす整数を k とする.このとき,次の不等式を証明せよ.

k 0a f (x) dx 0nf (x )d x( k+1) 0a f( x) dx

問3  n が正の整数のとき,次の不等式を証明せよ.

( 1a - 1n ) 0af (x )d x 1n 0n f( x) dx ( 1a+ 1n ) 0af (x )d x

問4 正の整数 n に対して Sn= 01 f (n x) dx とおくとき,

limn Sn = 1a 0a f( x) dx

となることを示せ.

2015 大阪市立大学 後期

理(数),工学部

理学部100点,工学部40点

易□ 並□ 難□

【4】 さいころを投げるごとに,点 P が数直線上の点 0 1 2 3 4 5 を移動するゲームを行う.点 P が整数 b 0 b5 の位置にあるとき,次にさいころを投げて出た目が c ならば,点 P b c 6 で割った余りの位置に移動するものとする.点 P の最初の位置を a0= 1 とし,正の整数 k に対して,さいころを k 回投げた後の P の位置を a k で表す.次の問いに答えよ.

問1  ak =0 ならば, ak+ 1= 0 であることを示せ.

問2  ak 2 または 4 であるとする. ak+ 1 0 2 4 のいずれかであることを示せ.

問3  ak 2 または 4 であるとする.このとき, ak+ 1=0 となるための必要十分条件は, (k +1) 回目にさいころを投げて出た目が 3 の倍数となることであることを示せ.

問4  n を正の整数とする. an 0 となる確率を n の式で表せ.

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理(数),工学部

理(数)学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面上の点 P ( x,y ) x y が共に整数であるものの全体の集合を L で表す. L 2 P ( a,b) Q ( c,d ) に対して,座標が

(a c-b d,a d+b c-b d)

で与えられる L の点を P* Q で表す.また L の点 P ( a,b ) に対して,整数 N ( P )

N( P) =a2 -ab +b2

によって定める.次の問いに答えよ.

問1  N( P) =1 となる L の点 P の座標は, (1 ,0) ( -1,0 ) (1 ,1) ( -1,-1 ) (0 ,1) ( 0,-1 ) のいずれかであることを示せ.

問2  L 2 P ( a,b ) Q (c ,d) に対して

N( P* Q) =N( P) N( Q)

が成り立つことを示せ.

問3  L の点 E ( 1,0 ) をとる.このとき, L の点 P ( a,b ) に対して, P* Q= E となる L の点 Q ( c,d ) が存在するための必要十分条件は, N( P) =1 であることを示せ.

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