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2015-11556-0201
2015 大阪市立大学 後期
理(数,物理),工学部
理学部は100点,工学部は40点
易□ 並□ 難□
【1】 a は a > 13 を満たす実数とする. 2 曲線 C1: y=2⁢ a⁢cos 2⁡x , C2 :y= sin⁡2⁢ x の交点のうち, 0<x < π2 の範囲にあるものを P とする. 2 曲線 C1 ,C 2 の点 P における接線の傾きをそれぞれ tan ⁡θ1 , tan⁡ θ2 と表す.ただし, - π2 <θ1 < π2 , - π2< θ2 < π2 とする.点 P の x 座標を b とし, S= ∫0b sin⁡ 2⁢x⁢ dx とおく.次の問いに答えよ.
問1 tan⁡b , cos⁡b , sin⁡ b をそれぞれ a で表せ.
問2 tan⁡θ 1 ,tan ⁡θ2 をそれぞれ a で表せ.
問3 tan⁡θ 1⁢tan ⁡θ2 ≠-1 を示し, tan⁡( θ2- θ1 ) を a で表せ.
問4 S を a で表せ.
問5 各 a に対して S ⁢tan⁡ (θ 2- θ1 ) の値を f ⁡(a ) と表すとき, a の関数 f ⁡(a ) は a > 13 において単調に減少することを示せ.
2015-11556-0202
理(数),工学部
理(数)学部は100点,工学部は40点
【2】 a ,b は実数で a >0 とする.円 x2+ y2= 1 と放物線 y =a⁢x 2+b の共有点の個数を m とおく.次の問いに答えよ.
問1 m=2 となるための a , b に関する必要十分条件を求めよ.
問2 m=3 となるための a , b に関する必要十分条件を求めよ.
問3 m=4 となるための a , b に関する必要十分条件を求めよ.
2015-11556-0203
【3】 f⁡( x) は x ≧0 で定義された連続関数で, f⁡( x)≧ 0 をみたすとする.さらに,正の定数 a があり, x≧0 でつねに f ⁡(x +a) =f⁡( x) が成り立つとする.次の問いに答えよ.
問1 r が正の整数ならば, ∫ (r -1) ⁢ar ⁢a f⁡( x)⁢ dx= ∫0a f⁡ (x) ⁢dx となることを示せ.
問2 n を正の整数とし, k≦ na< k+1 をみたす整数を k とする.このとき,次の不等式を証明せよ.
k⁡ ∫0a f⁡ (x) ⁢dx≦ ∫ 0nf ⁡(x )⁢d x≦( k+1) ⁢ ∫0a f⁡( x)⁢ dx
問3 n が正の整数のとき,次の不等式を証明せよ.
( 1a - 1n )⁢ ∫ 0af ⁡(x )⁢d x≦ 1n⁢ ∫0n f⁡( x)⁢ dx≦ ( 1a+ 1n ) ⁢∫ 0af ⁡(x )⁢d x
問4 正の整数 n に対して Sn= ∫01 f⁡ (n⁢ x)⁢ dx とおくとき,
limn →∞ Sn = 1a ⁢ ∫ 0a f⁡( x)⁢ dx
となることを示せ.
2015-11556-0204
理学部100点,工学部40点
【4】 さいころを投げるごとに,点 P が数直線上の点 0 , 1 ,2 , 3 ,4 , 5 を移動するゲームを行う.点 P が整数 b ( 0≦ b≦5 ) の位置にあるとき,次にさいころを投げて出た目が c ならば,点 P は b ⁢c を 6 で割った余りの位置に移動するものとする.点 P の最初の位置を a0= 1 とし,正の整数 k に対して,さいころを k 回投げた後の P の位置を a k で表す.次の問いに答えよ.
問1 ak =0 ならば, ak+ 1= 0 であることを示せ.
問2 ak が 2 または 4 であるとする. ak+ 1 は 0 , 2 ,4 のいずれかであることを示せ.
問3 ak が 2 または 4 であるとする.このとき, ak+ 1=0 となるための必要十分条件は, (k +1) 回目にさいころを投げて出た目が 3 の倍数となることであることを示せ.
問4 n を正の整数とする. an ≠0 となる確率を n の式で表せ.
2015-11556-0205
【5】 xy 平面上の点 P ( x,y ) で x と y が共に整数であるものの全体の集合を L で表す. L の 2 点 P ( a,b) ,Q ( c,d ) に対して,座標が
(a⁢ c-b⁢ d,a⁢ d+b⁢ c-b⁢ d)
で与えられる L の点を P* Q で表す.また L の点 P ( a,b ) に対して,整数 N ⁡( P ) を
N⁡( P) =a2 -a⁢b +b2
によって定める.次の問いに答えよ.
問1 N⁡( P) =1 となる L の点 P の座標は, (1 ,0) ,( -1,0 ), (1 ,1) ,( -1,-1 ), (0 ,1) ,( 0,-1 ) のいずれかであることを示せ.
問2 L の 2 点 P ( a,b ), Q (c ,d) に対して
N⁡( P* Q) =N⁡( P) ⁢N⁡( Q)
が成り立つことを示せ.
問3 L の点 E ( 1,0 ) をとる.このとき, L の点 P ( a,b ) に対して, P* Q= E となる L の点 Q ( c,d ) が存在するための必要十分条件は, N⁡( P) =1 であることを示せ.