2015 大阪府立大学 前期

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2015 大阪府立大学 前期

知識情報システム・環境システム・マネジメント・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とする.数字 1 が書かれたカードが n 枚,数字 4 が書かれたカードが 1 枚, が書かれたカードが 1 枚,合計 n +2 枚のカードがある.これら n +2 枚のカードから 2 枚のカードを同時に引き,カードに書かれた数字の合計を得点とするが,引いたカードの中に が書かれたカードが含まれる場合には,得点は 0 点とする.

(1) 得点が 0 点となる確率,得点が 2 点となる確率,得点が 5 点となる確率をそれぞれ求めよ.

(2) 得点の期待値を求めよ.

(3) (2)で求めた期待値を a n とおくとき, an+ 1- an の符号を調べることにより, an が最大になる n をすべて求めよ.

2015 大阪府立大学 前期

知識情報システム・環境システム・マネジメント・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【2】 異なる n 個のものから異なる r 個を取り出して並べる順列の総数

Pr n =n (n- 1) (n- 2) ( n-r+ 1) (ただし n r1

に関して以下の問いに答えよ.

(1)  k>r ならば Pr k = 1r+ 1 ( P r+1 k+1 - Pr +1 k ) が成り立つことを示せ.

(2)  Pr r +Pr r+1 +Pr r+2 ++ Pr n+r -1 = P r+1 n+r r+1 が成り立つことを示せ.

(3) 次の等式がすべての自然数 k に対して成り立つような定数 A B C を求めよ.

k4= P4 k+3 +A× P3 k+2 +B× P2 k+1 +C× P1 k

(4)  14+ 24+ 34+ +n 41 +2+3 ++n n 3 次式で表せ.

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知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【3】 四面体 OABC が与えられており,各辺の長さが

OA=2 OB=3 OC=3 AB=3 BC=2 CA=3

であるとする.また,点 O A C を通る平面を α O A B を通る平面を β とし,点 B を通り平面 α に垂直な直線を g C を通り平面 β に垂直な直線を h とする.

(1) 内積 OA OB OB OC OA OC を求めよ.

(2) 直線 g と平面 α の交点を P 直線 h と平面 β の交点を Q とするとき, OA OB OC を用いて, OP OQ を表せ.

(3) 直線 g と直線 h は交わることを示せ.また,直線 g と直線 h の交点を R とするとき, OA OB OC を用いて, OR を表せ.

2015 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【3】  a を正の定数とする.放物線 Cy= ax2 上の点 P (t ,at 2) (ただし t 0 )に対して, C P での接線を m P を通り, y 軸に平行な直線を v とする.直線 m に関して v を対称移動した直線を l とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  l の傾きを, a t を用いて表せ.

(2)  l y 切片は t によらず一定であることを示せ.

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知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【4】 実数全体を定義域とする関数 f (x ) g( x) をそれぞれ

f( x)= ex g (x) = ex+ 1+e -x-1 2

で定める.曲線 y =f( x) 上の点 ( t,et ) における法線に関して,直線 x =t を対称移動した直線を l とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  l の方程式を求めよ.

(2)  l は曲線 y =g (x ) に接することを示し,その接点の x 座標を求めよ.

(3) (2)で求めた接点を P とする. l と曲線 y =f( x) および P を通り y 軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を S (t ) とする. t が実数全体を動くとき, S( t) の最小値を求めよ.

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環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【4】  a b p q を実数の定数(ただし a <b )とする. 2 次方程式

(*) x2-p x+q =0

について以下の問いに答えよ.

(1) (*)が実数解をもち,それらがともに a 以上 b 以下であるための必要十分条件を p q についての連立不等式で表せ.

(2) (1)で導いた p q についての連立不等式を満たす座標平面上の点 ( p,q ) 全体の集合を D とするとき, a b を用いて D の面積を表せ.