2015　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$▵$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$▵$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．

(1)　得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　得点の期待値を求めよ．

(3)　(2)で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．

【２】　異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数

${}_{n}P_r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$（ただし$n\geqq r\geqq 1$）

に関して以下の問いに答えよ．

(1)　$k>r$ならば${}_{k}P_r={\displaystyle \frac{1}{r+1}}({}_{k+1}P_{r+1}-{}_{k}P_{r+1})$が成り立つことを示せ．

(2)　${}_{r}P_r+{}_{r+1}P_r+{}_{r+2}P_r+\cdots +{}_{n+r-1}P_r={\displaystyle \frac{{}_{n+r}P_{r+1}}{r+1}}$が成り立つことを示せ．

(3)　次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．

$k^4={}_{k+3}P_4+A\times {}_{k+2}P_3+B\times {}_{k+1}P_2+C\times {}_{k}P_1$

(4)　${\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}}$を$n$の$3$次式で表せ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$が与えられており，各辺の長さが

$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{OC}=3\text{，}\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=3$

であるとする．また，点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha \text{，}$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面を$\beta$とし，点$\mathrm{B}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$g\text{，}$点$\mathrm{C}$を通り平面$\beta$に垂直な直線を$h$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(2)　直線$g$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$h$と平面$\beta$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．

(3)　直線$g$と直線$h$は交わることを示せ．また，直線$g$と直線$h$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を表せ．

【３】　$a$を正の定数とする．放物線$C\text{：}y=a{x}^2$上の点$\mathrm{P}(t,a{t}^2)$（ただし$t\ne 0$）に対して，$C$の$\mathrm{P}$での接線を$m\text{，}\mathrm{P}$を通り，$y$軸に平行な直線を$v$とする．直線$m$に関して$v$を対称移動した直線を$l$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l$の傾きを，$a\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$l$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．

【４】　実数全体を定義域とする関数$f(x)\text{，}g(x)$をそれぞれ

$f(x)=e^x\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2}}$

で定める．曲線$y=f(x)$上の点$(t,e^t)$における法線に関して，直線$x=t$を対称移動した直線を$l$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$は曲線$y=g(x)$に接することを示し，その接点の$x$座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた接点を$\mathrm{P}$とする．$l$と曲線$y=f(x)\text{，}$および$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$t$が実数全体を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$を実数の定数（ただし$a<b$）とする．$2$次方程式

(＊)$x^2-px+q=0$

について以下の問いに答えよ．

(1)　(＊)が実数解をもち，それらがともに$a$以上$b$以下であるための必要十分条件を$p\text{，}q$についての連立不等式で表せ．

(2)　(1)で導いた$p\text{，}q$についての連立不等式を満たす座標平面上の点$(p,q)$全体の集合を$D$とするとき，$a\text{，}b$を用いて$D$の面積を表せ．