2015 大阪府立大学 中期

Mathematics

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2015 大阪府立大学 中期

工学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1)  m を整数とし,不定積分

I= xm log xdx

を計算せよ.ただし,積分定数は省略してよい.

(【1】の(1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2015 大阪府立大学 中期

工学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2)  n 3 以上の自然数とする.正 n 角形の頂点から相異なる 3 点を選んで三角形を作るとき,その三角形が二等辺三角形となる場合の数を a n とする.

(ⅰ)  a6 a7 をそれぞれ求めよ.

(ⅱ) 自然数 k に対して, a6 k a6 k+1 をそれぞれ k を用いて表せ.

(【1】の(1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2015 大阪府立大学 中期

工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1)  x0 のとき, x- x22 log (1 +x) x が成り立つことを示せ.

(2) 自然数 n に対して,

Sn =log (n n+1 )+log (n n+ 2) ++log (n n+ n) -nlog (n n )

と定めるとき,極限値 limn S n を求めよ.

2015 大阪府立大学 中期

工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  a>0 b>0 とし,座標平面において,双曲線 x2 a2 - y2b 2= 1 を曲線 C とする.曲線 C の漸近線のうち傾きが正の漸近線を l とし,曲線 C 上の点 P ( p,q ) における曲線 C の接線を m とする.ただし, p>0 q> 0 とする.また,漸近線 l と接線 m の交点を Q とし,接線 m x 軸の交点を R とする.原点を O とするとき,次の問いに答えよ.

(1) 漸近線 l の方程式を a b を用いて表せ.

(2) 接線 m の方程式を a b p を用いて表せ.

(3) 三角形 OQR の面積 S (p ) p を用いて表せ.

(4) 極限値 limp S (p ) を求めよ.

(【3】の(1),(2),(3),(4)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2015 大阪府立大学 中期

工学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【4】 座標平面上に,原点 O および 2 A ( 2,1 ) B ( 0,-1 ) がある.原点 O を通り, u =( 2,-1 ) を方向ベクトルとする直線を l とする. OA =a OB =b とおき, s t を実数として, OP =a +s u で与えられる点 P および OQ =b +t u で与えられる点 Q を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  u a b を用いて表せ.

(2)  POQ が直角となる s t の条件を求めよ.

(3) 直線 PQ と直線 l の交点を R とし,実数 k を用いて, OR =k u とする.このとき, k s t を用いて表せ.

(4)  POQ が直角となる条件のもと,三角形 POQ の面積 F が最小となるときの k の値を求めよ.

(【4】の(1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2015 大阪府立大学 中期

工学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【5】 座標平面上において,原点 O を中心とする半径 1 の円 C 0 に,半径 1 の円 C 1 が外接しながらすべることなく回転する.点 A を動く点 C 1 の中心とし,点 P を円 C 1 の円周上の定点とする.最初,点 A は座標 ( 2,0 ) の位置にあり,点 P は座標 ( 1,0 ) の位置にある.円 C 1 が円 C 0 の周りを半時計まわりに一周し,点 A が座標 ( 2,0 ) に戻ってくるとき,点 P のえがく曲線を C とする.動径 OA x 軸の正の部分から角 θ 0 θ 2π だけ回転した位置にあるとき,点 P の座標を ( x( θ), y( θ) ) とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 点 P の座標 ( x( θ) ,y (θ )) について,

x( θ)= 2cos θ-cos 2θ y( θ)= 2sin θ-sin 2θ

が成り立つことを示せ.

(2) 導関数 d dθ x( θ) を求め, x( θ) θ に関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.

(3) 曲線 C で囲まれる図形の面積 S を求めよ.