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2015-11561-0201
2015 大阪府立大学 中期
工学部
配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) m を整数とし,不定積分
I= ∫xm ⁢log⁡ x⁢dx
を計算せよ.ただし,積分定数は省略してよい.
(【1】の(1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)
2015-11561-0202
(2) n を 3 以上の自然数とする.正 n 角形の頂点から相異なる 3 点を選んで三角形を作るとき,その三角形が二等辺三角形となる場合の数を a n とする.
(ⅰ) a6 , a7 をそれぞれ求めよ.
(ⅱ) 自然数 k に対して, a6 ⁢k , a6 ⁢k+1 をそれぞれ k を用いて表せ.
2015-11561-0203
配点50点
【2】 次の問いに答えよ.
(1) x≧0 のとき, x- x22 ≦log ⁡(1 +x) ≦x が成り立つことを示せ.
(2) 自然数 n に対して,
Sn =log⁡ (n⁢ n+1 )+log ⁡(n ⁢n+ 2) +⋯+log ⁡(n ⁢n+ n) -n⁢log ⁡(n ⁢n )
と定めるとき,極限値 limn→ ∞S n を求めよ.
2015-11561-0204
【3】 a>0 , b>0 とし,座標平面において,双曲線 x2 a2 - y2b 2= 1 を曲線 C とする.曲線 C の漸近線のうち傾きが正の漸近線を l とし,曲線 C 上の点 P ( p,q ) における曲線 C の接線を m とする.ただし, p>0 , q> 0 とする.また,漸近線 l と接線 m の交点を Q とし,接線 m と x 軸の交点を R とする.原点を O とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 漸近線 l の方程式を a , b を用いて表せ.
(2) 接線 m の方程式を a , b ,p を用いて表せ.
(3) 三角形 OQR の面積 S ⁡(p ) を p を用いて表せ.
(4) 極限値 limp→ ∞S ⁡(p ) を求めよ.
(【3】の(1),(2),(3),(4)については計算の過程を記入しなくてよい.)
2015-11561-0205
配点60点
【4】 座標平面上に,原点 O および 2 点 A ( 2,1 ) ,B ( 0,-1 ) がある.原点 O を通り, u→ =( 2,-1 ) を方向ベクトルとする直線を l とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ とおき, s ,t を実数として, OP→ =a→ +s⁢ u→ で与えられる点 P および OQ→ =b→ +t⁢ u→ で与えられる点 Q を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) u→ を a → ,b → を用いて表せ.
(2) ∠POQ が直角となる s , t の条件を求めよ.
(3) 直線 PQ と直線 l の交点を R とし,実数 k を用いて, OR→ =k⁢ u→ とする.このとき, k を s , t を用いて表せ.
(4) ∠POQ が直角となる条件のもと,三角形 POQ の面積 F が最小となるときの k の値を求めよ.
(【4】の(1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)
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【5】 座標平面上において,原点 O を中心とする半径 1 の円 C 0 に,半径 1 の円 C 1 が外接しながらすべることなく回転する.点 A を動く点 C 1 の中心とし,点 P を円 C 1 の円周上の定点とする.最初,点 A は座標 ( 2,0 ) の位置にあり,点 P は座標 ( 1,0 ) の位置にある.円 C 1 が円 C 0 の周りを半時計まわりに一周し,点 A が座標 ( 2,0 ) に戻ってくるとき,点 P のえがく曲線を C とする.動径 OA が x 軸の正の部分から角 θ ( 0 ≦θ≦ 2⁢π ) だけ回転した位置にあるとき,点 P の座標を ( x⁡( θ), y⁡( θ) ) とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点 P の座標 ( x⁡( θ) ,y⁡ (θ )) について,
x⁡( θ)= 2⁢cos⁡ θ-cos⁡ 2⁢θ , y⁡( θ)= 2⁢sin⁡ θ-sin⁡ 2⁢θ
が成り立つことを示せ.
(2) 導関数 d dθ ⁢ x⁡( θ) を求め, x⁡( θ) の θ に関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.
(3) 曲線 C で囲まれる図形の面積 S を求めよ.