2015　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　$x\geqq 0$のとき，$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \log (1+x)\leqq x$が成り立つことを示せ．

(2)　自然数$n$に対して，

$S_n=\log (n\sqrt{n}+1)+\log (n\sqrt{n}+\sqrt{2})+\cdots +\log (n\sqrt{n}+\sqrt{n})-n\log (n\sqrt{n})$

と定めるとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(1)　漸近線$l$の方程式を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　接線$m$の方程式を$a\text{，}b\text{，}p$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．

(4)　極限値$\underset{p\to \infty }{\lim }S(p)$を求めよ．

（【３】の(1)，(2)，(3)，(4)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s\text{，}t$の条件を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{PQ}$と直線$l$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k\overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(4)　$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

（【４】の(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta ),y(\theta ))$について，

$x(\theta )=2\cos \theta -\cos 2\theta \text{，}y(\theta )=2\sin \theta -\sin 2\theta$

が成り立つことを示せ．

(2)　導関数${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}x(\theta )$を求め，$x(\theta )$の$\theta$に関する増減表を作成せよ．ただし，凹凸については言及しなくてよい．

(3)　曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．