2015　奈良県立医科大学　後期医学科MathJax

【１】　$x$を実数とし，$0$以上の任意の整数$n$に対して，定積分

$I_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{t}^n{e}^{t}dt$

を考える．

(1)　$I_n(x)$は，定数$a_n\text{，}$および最高次の係数を$1$とする$x$の$n$次式$f_n(x)$を用いて，

$I_n(x)=f_n(x)e^x+a_n$

の形に，ただ一通りの方法で表せることを証明せよ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　正整数$n$に対して，

$S_n(x)={\displaystyle \sum _{i=0}^n}{\displaystyle \frac{f_i(x)}{i!}}$

とおく．（ただし，$0!=1$とする．）このとき，$S_n(x)+S_{n-1}(x)$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$は共に$1$より大きい実数の定数とする．$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$2$点$(a,0)\text{，}(0,b)$を通る直線を$l$とする．

(1)　円$C$と直線$l$とが交わらない為に，定数$a\text{，}b$の満たすべき必要十分条件を求めよ．

(2)　さらに(1)の仮定の下で，直線$l$上の点$\mathrm{P}$を通り円$C$と接する$2$本の接線の$C$における接点を，各々$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とおく．点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，四角形$\mathrm{PAOB}$の面積$S$を最小にするような点$\mathrm{P}$の座標，および$S$の最小値を求めよ．

【３】　$a$を$2$以上の整数，$p$を$2$より大きい素数とする．ある正整数$k$に対して等式

$a^{p-1}-1=p^k$

が成り立つのは，$a=2\text{，}p=3$の場合に限ることを証明せよ．

【４-１】　$n$を$3$以上の整数とし，複素数$z$を

$z=\cos (2\pi /n)+i\sin (2\pi /n)\text{，}i=\sqrt{-1}$

と定める．$a_0\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n-1}$が$1$から$n$までの全ての整数を動くとき，関数$v={(a_0+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}{z}^{n-1})}^n$の取りうる全ての値のなす集合を$\mathrm{S}$とおく．さらに，$b_0\text{，}{b}_1\text{，}\cdots \text{，}{b}_{n-2}$が$0$から$n-1$までの全ての整数を動くとき，関数$w={(b_0+b_{1}z+\cdots +b_{n-2}{z}^{n-2})}^n$の取りうる全ての値のなす集合を$\mathrm{T}$とおく．

(1)　複素数$1+z+\cdots +z^{n-1}$の値を求めよ．

(2)　二つの集合$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$とは等しいこと，すなわち$\mathrm{S}=\mathrm{T}$がなりたつことを証明せよ．

【４-２】　$n$を$3$以上の整数とし，$2$行$2$列の行列$R$を，

$R=\left(\begin{array}{cc}\cos (2\pi /n)& -\sin (2\pi /n)\\ \sin (2\pi /n)& \cos (2\pi /n)\end{array}\right)$

と定める．$E$を$2$行$2$列の単位行列とする．$a_0\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n-1}$が$1$から$n$までの全ての整数を動くとき，行列${(a_{0}E+a_{1}R+\cdots +a_{n-1}{R}^{n-1})}^n$全体のなす集合を$\mathrm{S}$とおく．さらに，$b_0\text{，}{b}_1\text{，}\cdots \text{，}{b}_{n-2}$が$0$から$n-1$までの全ての整数を動くとき，行列${(b_{0}E+b_{1}R+\cdots +b_{n-2}{R}^{n-2})}^n$全体のなす集合を$\mathrm{T}$とおく．

(1)　行列$E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}$を求めよ．

(2)　二つの集合$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$とは等しいこと，すなわち$\mathrm{S}=\mathrm{T}$がなりたつことを証明せよ．