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図1
春分の日や秋分の日の正午に,赤道直下では太陽が真上から射して影が無くなる.同時に,赤道直下の地点と同じ経度の北半球の地点に垂直に棒を立てたとする.ここで棒と棒の影の長さを測れば地点の緯度が計算できる.このときの模式図が図1である.
が赤道上の地点を表し,地球を点を中心とする球と見なして地点と北極点と南極点を通る面で切った断面を円としている.地点に射す太陽光を表すは垂直に射すためと円の中心を通る.地点の緯度はである.
地点に立てた棒の先端をとする.とはそれぞれ点を通る太陽光線を表す直線である.太陽は地球から十分遠いのでとはに平行であると考える.
を結ぶ直線をとする,点と点における円の接線をそれぞれとする.直線との交点をととの交点をとの交点をとの交点をとの交点をとする.
地点に立てた棒の長さと比べて地球は十分大きいので,地点付近の地表面を水平面と見なすと棒の影は上の線分と考えてよい.
(1) 図1で地点に立てた棒の影に対応するのはどの線分かを答えよ.
(2) 図1でとが相似であることを示せ.
(3) とを図1のつの線分の長さの比(分数)で表せ.ただし,つの線分の少なくとも一方はを端点とするものを用いること.
(4) 地点での棒の影の長さは棒の長さに等しいものとする.このとき地点の緯度を求めよ.また,求める過程を説明せよ.