2015　公立鳥取環境大学　前期MathJax

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．ただし，$r$を用いてはならない．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{QC}$上の点であることを示せ．

(3)　辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$が一直線上にあるときの$r$の値を求めよ．

(1)　$m\text{，}n$は整数とする．このとき，$mk=n$を満たす整数$k$が存在する．

(2)　$r$は実数とする．このとき，$r^2<1$ならば$\left|r\right|<1$である．

(3)　$2$つの不等式$x+y\leqq 3$と$(x-1)y\geqq 1$を満たす自然数の組$(x,y)$はただ$1$つだけ存在する．

(4)　$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$を満たす正の実数$a\text{，}b$は存在しない．

図１

　春分の日や秋分の日の正午に，赤道直下では太陽が真上から射して影が無くなる．同時に，赤道直下の地点$\mathrm{A}$と同じ経度の北半球の地点$\mathrm{B}$に垂直に棒を立てたとする．ここで棒と棒の影の長さを測れば地点$\mathrm{B}$の緯度が計算できる．このときの模式図が図１である．

　$\mathrm{A}$が赤道上の地点を表し，地球を点$\mathrm{O}$を中心とする球と見なして地点$\mathrm{A}$と北極点$\mathrm{N}$と南極点$\mathrm{S}$を通る面で切った断面を円$Q$としている．地点$\mathrm{A}$に射す太陽光を表す$L_1$は垂直に射すため$\mathrm{A}$と円の中心$\mathrm{O}$を通る．地点$\mathrm{B}$の緯度は$\angle \mathrm{AOB}=\theta$である．

　地点$\mathrm{B}$に立てた棒の先端を$\mathrm{C}$とする．$L_2$と$L_3$はそれぞれ点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る太陽光線を表す直線である．太陽は地球から十分遠いので$L_2$と$L_3$は$L_1$に平行であると考える．

　$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{S}$を結ぶ直線を$L_4$とする，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$における円$Q$の接線をそれぞれ$L_5\text{，}{L}_6$とする．直線$L_3$と$L_6$の交点を$\mathrm{D}\text{，}{L}_3$と$Q$との交点を$\mathrm{E}\text{，}{L}_2$と$L_5$の交点を$\mathrm{F}\text{，}{L}_5$と$L_6$の交点を$\mathrm{G}\text{，}{L}_1$と$L_6$の交点を$\mathrm{H}$とする．

　地点$\mathrm{B}$に立てた棒の長さと比べて地球は十分大きいので，地点$\mathrm{B}$付近の地表面を水平面と見なすと棒の影は$L_6$上の線分と考えてよい．

(1)　図１で地点$\mathrm{B}$に立てた棒の影に対応するのはどの線分かを答えよ．

(2)　図１で$▵\mathrm{BHO}$と$▵\mathrm{BDC}$が相似であることを示せ．

(3)　$\sin \theta$と$\cos \theta$を図１の$2$つの線分の長さの比（分数）で表せ．ただし，$2$つの線分の少なくとも一方は$\mathrm{O}$を端点とするものを用いること．

(4)　地点$\mathrm{B}$での棒の影の長さは棒の長さに等しいものとする．このとき地点$\mathrm{B}$の緯度を求めよ．また，求める過程を説明せよ．