2015　県立広島大学　前期MathJax

【１】　$x>0$を実数とし，$f(x)={\left({\displaystyle \frac{10}{x}}\right)}^{45}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

(2)　$|{\log }_{10}x-0.3010|<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．

(3)　$d$を定数とする．$|{\log }_{10}x-0.3010|<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質をもつ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=-1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{5a_n+9}{-a_n+11}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　$a_n<3$を示せ．

(4)　$a_n<a_{n+1}$を示せ．

(5)　$a_n$が自然数となる$n$をすべて求めよ．

【３】　$s\text{，}t$を実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に定点$\mathrm{A}(0,2,0)$と動点$\mathrm{P}(s,s+2,t)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と垂直であるか$\overrightarrow{0}$である．次の問いに答えよ．

(1)　$t^2$を$s$を用いて表せ．

(2)　$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,k,0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$のとる値の範囲を求めよ．

【４】　関数$f(x)$が

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(-t+x)(t-x+2)dt$

で定義されている．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$x$の整式で表せ．

(2)　$y=f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$k\geqq 0$を定数とする．$x$に関する方程式$f(x)=k$が自然数の解をもつときの定数$k$をすべて求めよ．