2015　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$2$次不等式$-3x^2+10x-3<0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　座標平面上の原点を中心とする半径$2$の円と直線$y=ax+10$が接している．定数$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　さいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目の数を$b\text{，}2$回目に出た目の数を$c$とする．このとき，$2$次方程式$x^2+bx+c=0$が実数解をもつ確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=2\sqrt{6}\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=3$である$▵\mathrm{ABC}$において，$\cos C$と$\cos B$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で方程式$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　方程式${\displaystyle \frac{4^3}{2\sqrt{2}}}=2^x$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$3^{{\log }_{3}4}$を簡単にせよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　放物線$y=x^2$と$2$直線$y=6x-9\text{，}y=-2x-1$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　座標平面上の$3$直線

$l_1\text{：}y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{l}_2\text{：}y={\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{l}_3\text{：}y=-x+5$

に対し，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{A}\text{，}{l}_1$と$l_3$の交点を$\mathrm{B}\text{，}{l}_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{C}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心の座標を求めよ．

【３】　赤・青・黄・白の旗がそれぞれ$4$枚ずつある．このうちの$1$枚以上を$1$本の棒に上から順に並べて信号をつくる．次のような信号のつくり方は何通りあるか．

(1)　$2$枚以下の旗を用いてできる符号．

(2)　$3$枚以下の旗を用いてできる信号で，どの旗の色も異なるもの．

(3)　$4$枚以上の旗を用いてできる信号で，用いる旗の色が$3$色以下であるもの．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　方程式${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+2)=2$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=1\\ \cos x+\sin y={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$a\text{，}b\text{，}x$を実数とする．命題

$x^2-(a+b)x+ab\leqq 0⟹x^2<2x+3$

が真となるような定数$a\text{，}b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$a\leqq b$とする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$a$を定数とし，関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能とする．このとき，極限値

$\underset{k\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h}}$

を$f^{\prime }(a)$を用いて表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　関数$f(x)=\log |\cos x|$の導関数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$2$つの曲線$y=\log x$と$y=a{x}^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　等式

$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{{(x-1)}^2}}=b$

が成り立つような定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$について，次の各問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(4)　実数$a\text{，}b$が条件$-2\leqq a\leqq b\leqq 2$を満たして変化するとき，定積分${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$の最大値とそのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　実数$x\text{，}y$に関する連立方程式

$\{\begin{array}{l}{x}^3+3y=4\\ 3x+y^3=4\end{array}\cdots \text{(＊)}$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$(x,y)$が連立方程式(＊)の解であるとき，$x^3+y^3+3x+3y$の値および$x^3-y^3-3x+3y$の値を求めよ．

(2)　連立方程式(＊)の解$(x,y)$で$x=y$となるものをすべて求めよ．

(3)　連立方程式(＊)の解$(x,y)$で$x\ne y$となるものに対して

$X=x+y\text{，}Y=xy$

とおく．このとき$X\text{，}Y$の値を求めよ．

(4)　連立方程式(＊)の解$(x,y)$は全部でいくつあるか．