2015　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$2$次方程式$3x^2+29x-10=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　関数$y=|3x+1|+|-2x+4|$の$x=-5$における値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$2$つの放物線$y=x^2+4x+5$と$y=-2x^2+6x-4$の頂点の間の距離を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　${\displaystyle \frac{13}{4+\sqrt{3}}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とするとき，$a-{\displaystyle \frac{1}{b}}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$0$から$9$までの整数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．この中から$2$枚以上$9$枚以下のカードを選ぶ．これらのカードを，書かれた整数の大きい順に，左から並べて自然数をつくる．例えば，$0\text{，}5\text{，}7$の$3$枚を選んだときは，自然数$750$ができる．このようにしてできる自然数は全部で何個あるか求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　不等式${\log }_2(x+1)+{\log }_2(5-x)<3$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．

$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}{x}^2+y^2\leqq 10$

【２】　関数$f(x)=-x^3+3x$について，次の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}(1,p)$から曲線$y=f(x)$へちょうど$2$本の接線が引けるとする．このとき$p$の値と接線の方程式を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$とおく．この三角形の面積$S$を表すヘロンの公式

$S={\displaystyle \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}}$

の証明と，その応用を考える．次の各問に答えよ．

(1)　$\cos A$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$\sin A$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　ヘロンの公式を証明せよ．

(4)　$a+b-c=3\text{，}b+c-a=4\text{，}c+a-b=5$のとき，三角形の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　関数$y=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{1+4x+4x^2}$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$2$次方程式$x^2+px+q=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$a\text{，}b$を正の実数とするとき，$(a+{\displaystyle \frac{1}{4b}})({\displaystyle \frac{9}{a}}+b)$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　方程式${\log }_2(x^2-5)-{\log }_2(x-2)=2$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　曲線$y=\sqrt{2x}$と接し，点$(-4,-1)$を通る直線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{4x^2+ax+b}{x^2+1}}$が$x=1$で極大値$5$をとるとき，定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　次の極限値を求めよ．

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+h)-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\sin h}}$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{x\log x}}$を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　自然数$n$と定数$x\text{（}0<x<1\text{）}$に対して，等比数列の和

$1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}$

を求めよ．

(2)　(1)で求めた和を$f(x)$とおく．$f(x)$を$0<x<1$で定義された関数と考えて，その導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　定数$x\text{（}0<x<1\text{）}$に対して，$h={\displaystyle \frac{1}{x}}-1$とおく．このとき，$2$以上の自然数$n$について

$x^n={\displaystyle \frac{1}{{(1+h)}^n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+nh+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{h}^2}}$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　定数$x\text{（}0<x<1\text{）}$に対して，次の極限値を求めよ．

$\text{①}$　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}^n$ $\text{②}$　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}k{x}^{k-1}$

【３】　だ円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{16}}=1$の焦点の$1$つを$\mathrm{F}(c,0)\text{（}c>0\text{）}$とし，$\mathrm{F}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．次の各問に答えよ．

(1)　円$C$の方程式を求めよ．

(2)　だ円$E$上に点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$をとる．点${\mathrm{P}}_0$を中心とし，円$C$に外接する円$C_0$の方程式を$x_0\text{，}{y}_0$を用いて表せ．

(3)　(2)において，点${\mathrm{P}}_0$の位置に関係なく円$C_0$が内接するような円$C^{\prime }$の方程式を求めよ．