2015　高知工科大学　AO経済・マネジメント学群MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$1012\times 1012-988\times 988$を計算せよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$\sqrt{13}$を小数表示した際の小数点以下第$1$位の数字を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$77778\times 77779$を$7$で割った余りを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$20$から$40$までの整数の和を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　${(\sqrt{2})}^{x+2}=16$をみたす$x$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$2$次方程式$6x^2+x-2=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$3$辺の長さが$3\text{，}4\text{，}x$の直角三角形がある．$x$の取り得る値をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$\boxed{1}\text{，}\boxed{2}\text{，}\boxed{3}$と書かれたカードがそれぞれ$4$枚，$3$枚，$2$枚ずつ，計$9$枚ある．その中から$4$枚を取り出して一列に並べてできる$4$桁の整数はいくつあるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(9)　$\tan {\displaystyle \frac{8\pi }{3}}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(10)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos x+{\sin }^{2}x}{x^2}}$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(11)　曲線$y=\sqrt{x^2+5}$上の点$(2,3)$における接線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(12)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$の極値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　実数$a$について「$a$は有理数である」ことの定義を書け．

(2)　「$\sqrt{2}$は無理数である」ことを証明せよ．

(3)　「$\sqrt{3}+\sqrt{2}$と$\sqrt{3}-\sqrt{2}$の少なくとも一方は無理数である」ことを証明せよ．

(4)　「$\sqrt{3}+\sqrt{2}$と$\sqrt{3}-\sqrt{2}$がともに無理数である」ことは成り立つか．もし成り立つのであれば，そのことを証明せよ．もし成り立たなければ「$\sqrt{3}+\sqrt{2}$と$\sqrt{3}-\sqrt{2}$の少なくとも一方は有理数である」ことを証明せよ．

【３】　$\angle \mathrm{A}$が直角である直角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{BC}$に平行な直線$l$を引き，_(ア)$l$上に点$\mathrm{D}$を次のようにとる．線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AC}$は共有点$\mathrm{E}$をもち，$\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$とする．このとき$\mathrm{CD}=\mathrm{CE}$であることを示す次の証明を読み，後の設問に答えよ．

［証明］　点$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{DE}$に垂直な直線と$\mathrm{DE}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{CD}=\mathrm{CE}$を証明するには，$\mathrm{H}$が$\mathrm{DE}$の中点であること，すなわち_(イ)$\mathrm{DH}=\mathrm{EH}$であることを示せばよい．よって以下では

$\mathrm{DE}=2\mathrm{EH}\cdots \text{①}$

を示す．

　_(ウ)$▵\mathrm{AEB}$と$▵\mathrm{HEC}$は相似だから$\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}=\mathrm{EB}\cdot \mathrm{HE}$が成り立つ．よって

$2\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}=2\mathrm{BE}\cdot \mathrm{EH}=\mathrm{BE}\cdot 2\mathrm{EH}\cdots \text{②}$

が成り立つ．ここで，$\text{①}$が成り立つと仮定すると，$\text{①}$を$\text{②}$に代入して

$2\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}=\mathrm{BE}\cdot \mathrm{DE}\cdots \text{③}$

が成り立つ．逆に_(エ)$\text{③}$が成り立つとすると，$\text{②}$を用いて$\text{①}$を示すことができる．従って，$\text{②}$の下では$\text{①}$と$\text{③}$は同値なので，$\text{①}$の代わりに$\text{③}$を示すことにする．

　$▵\mathrm{AED}$と$▵\mathrm{CEB}$は相似だから

${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{BE}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}}\cdots \text{④}$

よって

${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{DE}}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}}\right)}^2\cdots \text{⑤}$

が成り立つ．ここで，$▵\mathrm{ABC}$が直角三角形なので$\mathrm{BC}=\sqrt{2}\mathrm{AC}$であり，さらに$\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$の条件を用いると

$\mathrm{BD}=\sqrt{2}\mathrm{AC}\cdots \text{⑥}$

である．

　$\text{⑥}$より，$\text{⑤}$の右辺は${\displaystyle \frac{1}{2}}$に等しいので${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}}{\mathrm{BE}\cdot \mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる．よって

$2\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}=\mathrm{BE}\cdot \mathrm{DE}$

すなわち$\text{③}$が示された．（証明終）

［設問］(1)　下線部(イ)において，$\mathrm{DH}=\mathrm{EH}$であることを示せたとすると，なぜ$\mathrm{CD}=\mathrm{CE}$が示せるのか．「合同」という用語を用いて説明せよ．

(2)　下線部(ウ)において，$▵\mathrm{AEB}$と$▵\mathrm{HEB}$は相似であることを証明せよ．また相似性から$\mathrm{AE}\cdot \mathrm{EC}=\mathrm{EB}\cdot \mathrm{HE}$が成り立つことを証明せよ．

(3)　下線部(エ)において，$\text{③}$が成り立つとすると$\text{①}$が成り立つことを証明せよ．

(4)　$\text{④}$を証明せよ．

(5)　点$\mathrm{D}$が直線$l$上にあるという下線部(ア)の条件は，証明中でどのように使われているか説明せよ．