2015　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$5\tan \theta =2$のとき，$A={\displaystyle \frac{{\sin }^4\theta -{\cos }^4\theta }{12\sin \theta \cos \theta +6}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2)\sqrt{x^4{(x+1)}^2}$に対して，定積分$B=m{\displaystyle {\int }_{-2}^2}f(x)dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．

【２】　$\{a_n\}$を初項$a_1=A\text{，}$公差$d$の等差数列とする．自然数$j$と$k$に対して$S(j,k)={\displaystyle \sum _{i=j}^k}{a}_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k$とおく．$S(1,10)=800\text{，}S(11,20)=200$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$j<k$とする．

(1)　定数$A$と$d$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{S(n+1,n^2)}{n(n-1)}}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の値を求めよ．

(3)　$S(n+1,n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ．

(4)　$T_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_{5i}$とおくとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(T_n)}^2}{S(n+1,n^2)}}$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$t=2^x$とおくとき，$A=-8^x+4^x+2^{x+2}-4$を$t$を用いて表せ．また，$t^B={\displaystyle \frac{8^x-4^x-2^{x+2}+4}{(4^x-4)(8^x-4^x)}}$をみたす定数$B$の値を求めよ．

(2)　正の定数$k$に対して，$C=k^2(-8^x+4^x+2^{x+2}-4)+(4^x-4)(8^x-4^x)$とおく．$C$を$t$と$k$を用いて表せ．ただし，答は因数分解せよ．