2015　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　自然数の列を区切って，次のように群に分ける．第$1$群に入る項の個数は$1$個である．また，第$n+1$群に入る項の個数は第$n$群の最後の項と同じ数とする．ただし，$n$は自然数である．また，群に入る項が$1$個の場合は，その数が最初の項でありかつ最後の項であるとする．

$\left|1\right|2|3,4|5,6,7,8|9,\cdots$

第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．次の問題に答えよ．

(1)　項$b_3\text{，}{b}_4\text{，}{b}_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　項数$c_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．

(4)　$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．

(5)　$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．

【２】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+15x$と$1$次関数$g(x)=3ax$を考える．ただし，$a$は定数である．また，関数$y=f(x)$のグラフで$x\geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$y=f(x)$上の点を$\mathrm{P}(p,f(p))$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．ただし，$p\geqq 0$を満たす．以下の問題に答えよ．

(1)　関数$f(x)$が単調に増加することを示せ．

(2)　直線$l$の傾きが最小となるとき，$p$の値と直線$l$の式を求めよ．

(3)　関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$a$の値は(3)で求めた範囲を満たすとする．$x\geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき，$x$を$a$を用いて表せ．

(5)　点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に，接線$l$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる．$▵\mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{R}$の座標と$▵\mathrm{ORQ}$の面積を求めよ．

【３】　$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$とおく．ただし，$\theta$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)　中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(4)　四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．

(5)　$▵\mathrm{APQ}$と$▵\mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

【４】　$1$個のサイコロを$3$回続けて投げる．$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を起点とし$1$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を増加させた点を$\mathrm{A}$とする．次に，点$\mathrm{A}$を起点とし$2$回目に出た目と同じ数だけ$y$座標を増加させた点を$\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{B}$を起点とし$3$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を減少させた点を$\mathrm{C}$とする．また，四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$S$とおく．以下の問題に答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{OABC}$が正方形になる確率を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の長さがすべて異なる確率を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{COA}=45\mathrm{°}$になる確率を求めよ．

(4)　面積$S$が整数になる確率を求めよ．

(5)　面積$S$が$25$以上になる確率を求めよ．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$x$および$y$は実数とする．点$(x,y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}x+y^2$の最大値は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{イ}}$となる．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える．この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると，円の半径$r$の値は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$正$12$角形の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある．タイルは長方形で，縦と横の長さがそれぞれ$2\mathrm{cm}\times 9.5\mathrm{cm}\text{，}3\mathrm{cm}\times 9.5\mathrm{cm}\text{，}5\mathrm{cm}\times 9.5\mathrm{cm}$である．$15\mathrm{cm}\times 9.5\mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく，はみ出ないように貼付けるとき，$\boxed{\text{オ}}$通りの貼付け方が存在する．必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする．また，タイルは切断できないものとする．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}+1}}\text{，}y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}-1}}$のとき，$x^3+x^{2}y+x{y}^2+y^3$の値は$\boxed{\text{カ}}\text{，}{x}^6+y^6$の値は$\boxed{\text{キ}}$となる．

【１】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　赤玉が$3$個，白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉がすべて白玉となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ヌ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a\text{，}b$の値は，$a=\boxed{\text{サ}}\text{，}b=\boxed{\text{シ}}$となる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ヌ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　点$(1,2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=\boxed{\text{ス}}$となり，対称な円の中心は$(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$となる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ヌ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$\sin \theta -\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$\boxed{\text{タ}}$となり，${\cos }^3\theta -{\sin }^3\theta$の値は$\boxed{\text{チ}}$となる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ヌ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$3\leqq x\leqq 81$のとき，関数$y={({\log }_{3}x)}^2-{\log }_3{x}^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=\boxed{\text{ツ}}$のときに最大値$\boxed{\text{テ}}$をとり，$x=\boxed{\text{ト}}$のときに最小値$\boxed{\text{ナ}}$をとる．

【２】　以下の問いの空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ヌ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$\boxed{\text{ニ}}$であり，一般項$a_n$は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

【３】　半径$1$の円を底面とする高さ$2$の円柱がある．右図のように，ひとつの底面を$xy$平面にとり，その中心を原点$\mathrm{O}$にとる．点$\mathrm{A}(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0,0)$および点$\mathrm{B}(0,0,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$を通り，$xy$平面と$45\mathrm{°}$の角をなす平面で，円柱を$2$つの立体に分ける．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

(1)　平面$x=a(\text{ただし，}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq a\leqq 1)$で小さい方の立体を切ったときの切り口（長方形$\mathrm{PQRS}$）の面積$S(a)$を求めよ．

(2)　小さい方の立体の体積$V$を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$として$3$点$\mathrm{A}(0,1,4)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,3,2)$をとる．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も湿すこと．

(1)　点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$S$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$S$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．

(4)　球面$S$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．