2015　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　指数関数について，次の問に答えなさい．

(1)　$a>0\text{，}a\ne 1$とする．実数$M$に対し，$a^t\geqq M$となるように実数$t$の範囲を求めなさい．

(2)　実数$M$に対して，実数$t_1\text{，}{t}_2$は

$\{\begin{array}{cc}\hfill M-2& =2^{t_1}\hfill \\ \hfill M& =2^{t_2}\hfill \end{array}$

を満たすとする．このとき，$t_1+t_2\geqq 3$となるように$M$の範囲を求めなさい．

(3)　(2)の$2$つの式を満たす$t_1\text{，}{t}_2$に対して，$t_2-t_1\geqq 4$となるように$M$の範囲を求めなさい．

【２】　$\mathrm{AC}=1\text{，}\angle \mathrm{B}=30\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{C}=90\mathrm{°}$の$▵\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点列${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$辺$\mathrm{AC}$上の点列${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}$辺$\mathrm{BC}$上の点列${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_2\text{，}\cdots$を${\mathrm{R}}_1\to {\mathrm{P}}_1\to {\mathrm{Q}}_1\to {\mathrm{R}}_2\to {\mathrm{P}}_2\to {\mathrm{Q}}_2\to \cdots$の順で以下を満たすように定める．

(a)　${\mathrm{R}}_1=\mathrm{C}$

(b)　${\mathrm{R}}_n{\mathrm{P}}_n\perp \mathrm{AB}$

(c)　${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n⫽\mathrm{BC}$

(d)　${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{R}}_{n+1}⫽\mathrm{AB}$

ただし，$n$は自然数である．右図は${\mathrm{R}}_1\to {\mathrm{P}}_1\to \cdots \to {\mathrm{Q}}_3$を示している．$x_n={\mathrm{AQ}}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．

(1)　${\mathrm{BR}}_{n+1}$と${\mathrm{BP}}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．

(2)　$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．

(3)　$x_n$を$n$の式で表しなさい．

【３】　以下の問に答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}(9-x^2)dx$の値を求めなさい．

(2)　$k>0$とする．定義域を$-3\leqq x\leqq 3$とする関数

$f(x)(=k(9-x^2)$

のグラフ$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積が$1$となるような$k$の値を求めなさい．

(3)　$k$は(2)で求めた値とし，$-3\leqq t\leqq 3$とする．$x\leqq t$のとき，グラフ$y=f(x)\text{，}x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$F(t)$を$t$の式で表しなさい．

(4)　(3)で求めた$t$の関数$F(t)$の増減表を作成し，関数$y=F(t)$のグラフの概形を描きなさい．

【４】　どの頂角も$180\mathrm{°}$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$（図１）があり，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{W}$とする．この四角形を$2$つの三角形$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{ACD}$に分割し（図２），それぞれの三角形の重心を${\mathrm{G}}_1\text{，}{{\mathrm{G}}_1}^{\prime }$とする．また，同じ四角形を$2$つの三角形$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{BCD}$に分割し（図３），それぞれの三角形の重心を${\mathrm{G}}_2\text{，}{{\mathrm{G}}_2}^{\prime }$とする．さらに線分${\mathrm{G}}_1{{\mathrm{G}}_1}^{\prime }$と線分${\mathrm{G}}_2{{\mathrm{G}}_2}^{\prime }$の交点を$\mathrm{G}$とする．実数$l\text{，}m$は

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=l\overrightarrow{\mathrm{AB}}+m\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

を満たすとする．以下の問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{AG}}_1}\text{，}\overrightarrow{{{\mathrm{AG}}_1}^{\prime }}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{AG}}_2}$はそれぞれ，

$\overrightarrow{{\mathrm{AG}}_1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})\text{，}\overrightarrow{{{\mathrm{AG}}_1}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{AG}}_2}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})$

となるが，$\overrightarrow{{{\mathrm{AG}}_2}^{\prime }}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表しなさい．

(2)　$0<p_1<1\text{，}0<p_2<1$に対して，線分${\mathrm{G}}_1{{\mathrm{G}}_1}^{\prime }$を$p_1:1-p_1$に内分する点を${\mathrm{H}}_1$とし，線分${\mathrm{G}}_2{{\mathrm{G}}_2}^{\prime }$を$p_2:1-p_2$に内分する点を${\mathrm{H}}_2$とする．このとき，

$\overrightarrow{{\mathrm{AH}}_1}=(1-p_1)\overrightarrow{{\mathrm{AG}}_1}+p_1\overrightarrow{{{\mathrm{AG}}_1}^{\prime }}$

$\overrightarrow{{\mathrm{AH}}_2}=(1-p_2)\overrightarrow{{\mathrm{AG}}_2}+p_2\overrightarrow{{{\mathrm{AG}}_2}^{\prime }}$

となるが，特に${\mathrm{H}}_1={\mathrm{H}}_2=\mathrm{G}$としたとき，$p_1\text{，}{p}_2$を$l\text{，}m$を用いて表しなさい．

(3)　(2)と同じく${\mathrm{H}}_1={\mathrm{H}}_2=\mathrm{G}$としたとき，以下の式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle \frac{{{\mathrm{G}}_1}^{\prime }\mathrm{G}}{{\mathrm{G}}_1\mathrm{G}}}={\displaystyle \frac{m}{l}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BW}}{\mathrm{DW}}}$

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x-2}}\text{（}x\ne 1\text{，}x\ne 2\text{）}$

について，以下の問に答えなさい．

(1)　$2$つの関数$y={\displaystyle \frac{2}{x-1}}\text{（}x\ne 1\text{）}$と$y=-{\displaystyle \frac{1}{x-2}}\text{（}x\ne 2\text{）}$のグラフの概形を解答用紙の同じ座標平面上に描きなさい．

(2)　$f(x)$の増減表を作成し，$f(x)$の極小値が$3+2\sqrt{2}\text{，}$極大値が$3-2\sqrt{2}$となることを示しなさい．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフの概形を解答用紙の座標平面上に描きなさい．

【４】　$c\text{，}d$を正の定数とする．図１のように点$\mathrm{O}$は極，$\mathrm{OX}$は始線，$\mathrm{A}$は$\mathrm{OX}$上の点で，点$\mathrm{A}$の極座標を$({\displaystyle \frac{c}{d}},0)$とする．点$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{OX}$に垂直な直線を$l$とする．点$\mathrm{P}$は$l$に関して$\mathrm{O}$と同じ側にあり，関係式

$d={\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PH}}}$

を満たすように動いている．ただし，$\mathrm{H}$は$\mathrm{P}$から$l$に下ろした垂線と$l$との交点である．以下の問に答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$の極座標を$(r,\theta )$とする．方程式

$r(d\cos \theta +1)=c$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　$\mathrm{O}$を通り，$\mathrm{OX}$に対する傾きがゼロでない直線が動点$\mathrm{P}$の軌跡と交わる$2$点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とし，その極座標をそれぞれ$(r_1,{\theta }_1)\text{，}(r_2,{\theta }_2)$とする．ただし，$0<{\theta }_1<\pi \text{，}\pi <{\theta }_2<2\pi$とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$が点$\mathrm{O}$で$1:2$に内分されるならば，

$r_1={\displaystyle \frac{3}{4}}c\text{，}\cos {\theta }_1={\displaystyle \frac{1}{3d}}\text{，}d>{\displaystyle \frac{1}{3}}$

となることを図２を参考にして示しなさい．

(3)　(2)の条件をみたす点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$を通る直線の傾きが$\sqrt{9d^2-1}$であることを示しなさい．